differentialgleichung Problem beim Auflösen

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1 Antwort

was bedeuten die striche auf der rechten seite des gleichheitszeichens??

meinst du 1+y²y' = 1+x² ? ´

da macht die 1 keinen sinn, das wäre ja dann einfach

y²y' = x²

und das ergibt 1/3 y³ = 1/3 ³ + c

oder y = (x³+C)^1/3

oder schreib die aufgabe noch mal neu, wie du das meinst

lanle 03.10.2012, 13:53

ach mist das ist etwas verrutscht es soll heißen y´= (1+y²)/(1+x²)

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JimTonic 03.10.2012, 14:01
@lanle

okay, das sieht schon etwas schwieriger aus :)

ich persönlich gehe an sowas lieber mit der schreibweise dy/dx ran, als y'

dann steht da nämlich:

dy/dx = (1+y²)/(1+x²)

mit dx und dy kann man wie mit variablen rechnen und integriert später einfach. also erstmal nach variablen separieren:

dy/(1+y²) = dx/(1+x²)

da jetzt links nur y und rechts nur x steht, bzw. dy und dx kann man einfach integrieren. das integral von 1/(1+x²) dx müsste der arctanx sein, wenn ich mich nicht irre.

dann hättest du also nach integration:

arctan y = arctan x + c

y = tan(arctan x + c)

nach additionstheoremen kann man noch folgendes draus basteln:

y = (x+C)/(1-Cx),

wobei C = arctan c

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lanle 03.10.2012, 15:42
@JimTonic

ach mist vielen dank hab meinen Fehler gefunden so ein blöder leichtsinnsfehler könntest du mir vlt erklären wie man den arctan ableitet? das haben wir noch nicht gemacht

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JimTonic 03.10.2012, 16:09
@lanle

na klar :)

weiß nicht, ob man das in der schule macht, ist ein bisschen tricky...

also suchen wir die ableitung von y=arctan x,

d.h. wir suchen dy/dx (hier wieder die tolle schreibweise :) )

so wies da steht geht das nicht, wir brauchen einen trick. das ganze ist ja äquivalent zu x=tan y (also halt die umkehrfunktion). das ist also quasi x als funktion von y. der tangens ist ja definiert als tan y=sin y/cos y

also können wir dx/dy bestimmen (ach quotientenregel):

dx/dy= (cos y * cos y - sin y *(-sin y))/ cos² y = 1/cos²y

(der nenner ergibt sich aus dem satz des pythagoras am einheitskreis und - falls du die schreibweise nicht kennst, hab sie auch das erste mal an der uni gesehn - cos²y = (cos y)² )

wir wollen aber ja nicht dx/dy, sondern dy/dx... na gut, ist dann halt der kehrwert, also dy/dx = cos²y. der hängt jetzt dummerweise von y und nicht von x ab, wir hätten aber ja lieber y'(x). jetzt braucht man noch einen tollen trick. wir teilen das ganze einfach mal durch 1, das ist ja nicht verboten. und da cos²y + sin²y = 1 ist (pythagoras am einheitskreis), teilen wir einfach mal dadurch:

dy/dx = cos²y = cos²y/(cos²y + sin²y)

und jetzt noch cos²y im nenner ausklammern (hier muss man dann jetzt ne fallunterscheidung machen und auf die definitionsbereiche achten, aber das spar ich mir mal)

dann haben wir noch:

dy/dx = cos²y/(cos²y *[1 + sin²y/cos²y]) = 1/(1+(sin y/cos y)²) = 1/(1+tan²y)

hier hab ich nur cos²y weggekürzt und das ()² "ausgeklammert"

y war ja unsere funktion y=arctan x, und jetzt heben sich funktion und umkehrfunktion auf:

dy/dx = 1/(1+ tan²arctan x) = 1/(1+x²)

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JimTonic 03.10.2012, 16:13
@JimTonic

aaah!!! bei der bestimmung von dx/dy meinte ich natürlich, dass der zähler wegen dem satz des pythagoras 1 wird :)

und bei "cos²y = (cos y)² )" sieht das aus, als ob der bindestrich ein minuszeichen wär... nicht missverstehn!

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lanle 06.10.2012, 00:16
@JimTonic

Vielen vielen dank für diese großartige hilfe

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lanle 19.10.2012, 16:25
@lanle

könntest du mir evtl. noch die Definitionsmenge sagen?

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JimTonic 21.10.2012, 13:54
@lanle

die differentialgleichung war ja y´= (1+y²)/(1+x²) und als lösung haben wir y = (x+C)/(1-Cx) gefunden mit C = arctan c in der differentialgleichung an sich tauchen im reellen keine probleme auf (falls du das im komplexen betrachten musst/willst, müsstest du +/-i ausschließen, da der nenner da 0 würde, im reellen passiert das nicht). die dgl ist also schon mal für alle reelle x definiert. in der lösung taucht im nenner 1-Cx auf, das heißt x darf den wert 1/C nicht annehmen. und C sollte von 0 verschieden sein. ansonsten sehe ich da jetzt keine weiteren fälle, die man ausschließen müsste. man könnte noch bei dem schritt y = tan(arctan x + c) anmerken, dass der tangens periodische definitionslücken aufweist und diese dann untersuchen (also wann arctanx+c = pi/2, 3pi/2,... wird). denke aber, es reicht, wenn man die definitionsmenge als D = {x€R\1/C} angibt.

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