Differentialgleichung mit Variablen auf beiden seiten?

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1 Antwort

3xy²y´ = x^3 + 4y^3

Es fällt schnell auf:

3y²*y´ = d/dx (y^3)

Substituiere daher:

z = y^3

--> 3x*z´ = x^3 + 4z

Umformen liefert:

3x*z´ - 4z = x^3 

Hierbei handelt es sich um eine DGL mit nicht konstanten Koeffizienten !!!

Für x ungleich 0 folgt:

z´ - (4/(3x))*z = x²/3

Wir machen den Ansatz:

z = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D

Einsetzen liefert:

3Ax² + 2xB + C - (4/(3x))(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = x²/3

Durch Koeffizienten-Vergleich können wir folgern:

B = C = D = 0

--> 3Ax² - (4/(3x))(Ax^3) = x²/3

Zusammengerechnet:

(3 - 4/3)*A*x² = x²/3

5/3 A*x² = x²/3

Damit also A = 1/5

--> z = x³/5   ist eine Lösung der Gleichung


Eine Homogene Lösung erhalten wir hier durch:

z´ - (4/(3x))*z = 0

---> z´/z = (4/(3x))

Damit also:

ln(z) = (4/3)*ln(x) *K   mit K aus IR

Und damit:

z = K(1)* x^(4/3)  mit K(1) aus IR


Wir erhalten also als Lösung:

z = x³/5 + K(1)*x^(4/3)

Mit z = y^3  folgt dann:

y = ( x³/5 + K(1)*x^(4/3) )^(1/3)


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