Differentialgleichung 1.Ordnung mit y^2?

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2 Antworten

Maxima (http://maxima.sourceforge.net) kommt damit auch nicht klar. Was das Programm stört, sind Funktionen von x in dem Klammerausdruck. Wenn man den Faktor tan(x) nach dem y wegläßt, wird eine Lösung gefunden. (Die Zeilen mit %i sind Eingabe, die Zeilen mit %o sind Ausgabe.)

(%i29) ode2(y^2+(y^2+y*tan(x)+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o29) false
(%i30) ode2(y^2+(y^2+y+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o30) -(2*y*log(y)+2*y^2-2)/y = tan(x)+%c
(%i31) ode2(y^2+(y^2+y*x+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o31) false
(%i32) ode2(y^2+(y^2+x+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o32) false
(%i33) ode2(y^2+(y^2+y/x+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o33) false
(%i34) ode2(y^2+(y^2+y*sin(x)+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o34) false


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Da ist nichts zu machen. Es ist ja eher die Ausnahme für einfachere Differentialgleichungen, dass man sie geschlossen lösen kann, meist kann man es nicht.

Es bleibt die numerische Lösung. Dafür gibt es unterschiedliche Methoden, die ganze Heerscharen von Mathematikern, Physikern und Ingenieuren beschäftigen. Wobei Du für diese einfache Gleichung nichts besonderes brauchst, da geht jedes Verfahren.

Gockel mal nach numerischer Integration, da gibt es eine Vielzahl von fertigen Softwarepaketen, die nehmen Dir das ab.

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Kommentar von SchrodingersCat
23.01.2016, 13:44

Ach herrje, dachte, an dem Thema kann ich mich vorbei mogeln..muss das leider per Hand lösen können. Dann setze ich mich da wohl mal das Wochenende ran....

Vielen Dank dennoch :)

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Kommentar von Defaetist
23.01.2016, 15:19

Ist das eine Übungsaufgabe und Du bist sicher, dass das analytisch lösbar ist? Und die Aufgabe ist, das analytisch zu lösen?

Dann könntest Du zwei Lösungsansätze versuchen:

- Vereinfachung der trigonometrischen Terme mit cos²x + sin²x = 1 und tan x = sin x/cos x, 1/cos² x = 1+tan² x, evtl. fällt da etwas signifikantes weg.

- Ableiten der Differentialgleichung nach x:

  Das wird ein längerer Ausdruck, da der tan als Ableitung 1/cos²x hat, besteht aber begründete Hoffnung, dass sich Terme günstig aufheben. Einen Versuch ist es wert. Falls das klappt: Lösung mitsamt Integrationskonstante wieder in Orginalgleichung einsetzen, weil man beim Ableiten der Gleichung eine Konstante versemmelt hat. Beispiel: Ableiten von y=3x+5 ergibt y'=3. Allgemeine Lösung y=3x+a enthält die Integrationskonstante a, die bestimmt werden muss, hier a=5.

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