Differentialgleichung - wie zu lösen?

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V´(t)=dv/dt=-c*V(t) negativ,weil der Graph abnimmt.Die Steigung dv/dt=m=negativ

Dgl. hat di Form y´=-c*y mit y´=dv/dt

Lösung durch trennen der Veränderlichen

dv/V(t)=-c*dt integriert

ln(V(t))=-c*t+C logarithmiert

V(t)=e^(-c*t+C)=e^C*e^(-c*t) zum Zeitpunkt t=0 e^C*1=Vo=100 l

V(t)=Vo*e^(-c*t) abgeleitet

V´(t)=dv/dt=5l/min=-c*Vo*e^(-c*t) bei t=T ist Vo/2=Vo*e^(-c*T) 1/2=e^(-c*T)

5l/min=-c*Vo*1/2

c=5l/min*2/100l=10/100l=0,1*min^-1

V(t)=Vo*e^(-0,1/min*t) t in Minuten einsetzen

Vo/2=Vo*e^(-0,1*t)

1/2=e^(-0,1*t) logarithmiert

ln(0,5)=-0,1*t

t=ln(0,5)/(-0,1)=6,93 min dann ist der Behälter halb leer.

Prüfe auf Rechen- u. Tippfehler.

















 (Antwort)

V´(T)=5l/min=-c*e^(-c*T) halb leer 1/2=e^(-c*T)

5l/min=-c*100l*1/2

c=5l*2/100l=10/100=0,1 min^-1

V(t)=Vo*e^-0,1/min*t hier t in Minuten einsetzen

wie kommst du auf -1/12

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@fjf100

Ich habe t in Sekunden eingesetzt 5 L/60s = 1/12 L/s. Aber, muss ich zugeben, in Minuten ist es geschickter. Außerdem, c = 1/600 s^-1 und nicht 50/3 s^-1, es war spät gestern Abend.

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@arhimedes

ach so!! 5/60=0,08333 l/s und 1/12=0,0833 hab nich nachgerechnet

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V(t) ist das Wasservolumen (wir erwarten hier positive Werte)

V '(t) ist die Änderung des Wasservolumens (wir erwarten hier negative Werte)

"Man stellt fest, dass (aufgrund des abnehmenden Druckes) die Ausflußrate (Volumen/Zeit) proportional [zu] dem noch aktuellen Inhalt V ist."

=> V '(t) = c * V(t) für eine unbekannte Konstante c.

"Bei halbvollem Behälter ist sie V['] = 5L / min."
Halbvoller Behälter => V(t_1) = 50L, V '(t_1) = -5 => c = -1/10 (t_1 ist der später gesuchte Zeitpunkt)

DGL: V '(t) = -1/10 V(t), Randbedingung: V(0)=100.

Schaffst du den Rest selbst?

Bitte vorsichtshalber bis zum Ende durchrechnen! Vieln vielen Dank!

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