Die Summe der Quadrate dreier aufeinanderfolgender Zahlen ergibt 149. Wie heißen die Zahlen? Gib eine passende Gleichung an!?
8 Antworten
Ansatz:
a=x-1, b=x, c=x+1
Damit:
(x-1)²+x²+(x+1)²=149 <=> 3x²+2=149 <=> x²=(149-2)/3
Damit haben wir die Lösungen
x1=7und x2=-7
Also ist die Antwort
a=6,b=7,c=8
oder
a=-8,b=-7,c=-6
Nette kleine Aufgabe!
Übrigens, wenn man genauer hinsieht, sieht man hier sehr schön ein nicht so offensichtliches Sätzchen, nämlich:
Die Quadrate-Summe dreier aufeinander folgender, natürlicher Zahlen hat beim Teilen durch 3 immer den Rest 2.
Ich weiß, es ist eine Gleichung gefragt, aber man kann auf die Lösung auch durch Nachdenken kommen.
Davon ausgehend, dass bei Zahlen in dieser Höhe die Quadrate sich nicht wesentlich unterscheiden, nämlich nur um die Zahl selbst, könnte man es mit x=y=z probieren:
3x² = 149x² = 49 (+2/3)
x = 7
Wenn das näherungsweise die Mitte darstellt, sind die Nachbarn 6 und 7.
Probe: 6² + 7² + 8² = 36 + 49 + 64
Diese 2/3 scheinen eine feste Konstante zu sein
20² + 21² + 22² = 1325
1325 : 3 = 441 2/3
Wurzel(441) = 21
x² + y² + z² = 149
Du weißt, dass x, y und z aufeinanderfolgende Zahlen sind. Kennst du also x, kennst du auch y und z. Demnach könntest du die Gleichung so umformen:
x² + (x+1)² + (x+2)² = 149
Diese Gleichung kannst du nun lösen, um an die Zahl(en) zu kommen.
x² + (x+1)² + (x+2)² = 149
x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 = 149
3x² + 6x + 5 = 149 |-149
3x² + 6x - 144 = 0
Jetzt musst du (je nach Bundesland) die pq- oder abc-Formel anwenden. Dann kommst du auf die Lösung(en).
Diese lauten:
x1 = 6
x2 = -8
Also entweder 6, 7 und 8 oder -8, -7 und -6.
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Also du hast 3 Zahlen. Nennen wir sie x, y und z
Die Summe der Quadrate ergibt 149. Also: x^2 + y^2 + z^2 = 149
Die drei Zahlen sind aufeinanderfolgend. x=x; y=x+1; z=x+2
Das kannst du alles in eine Gleichung packen und fertig.
Schön. Ich kann das schon rechnen. Wollte aber bewusst nicht eine Lösung angeben, sondern eine Hilfestellung leisten damit man es selber lösen kann
n²+(n+1)²+(n+2)²=149
n²+n²+2n+1+n²+4n+4=149
3n²+6n+5=149
3n²+6n=144
n²+2n=48
(n+1)²=49
n=-1+7=6 oder n=-1-7=-8
Die drei Zahlen sind 6, 7 und 8 oder -8, -7 und -6
6x6 =36 7x7=49 8x8=64 alles zusammen ergibt 149