Die imaginäre Einheit in der Algebra bzgl. quadratische Körpererweiterungen?
Die Frage ist, ob i = sqrt(-1) ist?
Wir betrachten das Polynom x^2 + 1 in R[x] bzw. die quadratische Gleichung x^2 + 1 = 0. Dieses hat die Diskriminante -1 nach der quadratischen Lösungsformel. Da die Diskriminante in R kein Quadrat ist, ist die Gleichung in R unlösbar und wir adjungieren also die Diskriminante, indem wir i = sqrt(-1) definieren, sodass i eine Nullstelle von dem Polynom ist bzw. eine Lösung der quadratischen Gleichung. Damit erhalten wir die Körpererweiterung R(i) = R[i] =: C / R.
Die Körpererwiterung ist vom Grad 2, d.h. C ist ein zweidimensionaler R-Vektorraum, denn i ist algebraisch mit seinem Minimalpolynom x^2 + 1 vom Grad 2. Dieses ist das Minimalpolynom, denn es ist irreduzibel. Also ist C isomorph zu R^2.
Deswegen halte ich die obige Definition für sinnvoll.
Genauso macht man das ja in dem man vom Körper Q (den rationalen Zahlen) zu Q(a) übergeht mit a = sqrt(2), was ja auch in Q nicht existiert.
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht was genau du uns sagen möchtest.
Siehe meine Antwort zu Wechselfreund
3 Antworten
Ich würde bereits bei der Definition aufpassen. Ich würde nicht sagen, dass i = sqrt(-1) ist, sondern i^2 = -1. Führt hier zum Gleichen, es kann jedoch auch schief gehen.
Das sehe ich zum ersten mal. C ist doch kein Faktorring. Übrigens geht es hier allgemein um eine Körpererweiterung K —> K(a).
Ja das glaube ich dir. Aber was hat das jetzt mit Körpererweiterungen und meiner Frage zu tun?
Das ist genau die Körpererweiterung
C:= R[X]/( x^2+1) ist eine Ringerweiterung von R = Polynome vom Grad <1 modulo x^2+1
Ich rede aber von quadratischen Körpererweiterungen der Form:
Sei Y / K eine Körpererweiterung, d.h. Y ist ein Körper und K ein Teilkörper in Y, so ist K(a) / K eine quadratische Körpererweiterung falls a in Y ein quadratisches Minimalpolynom hat. Da hat mit deinem nicht viel zu tun.
Z.b X hat als minimal Polynom x^2+1 und das ist eingesetzt nach Definition 0
Also ich fasse mal deine Überlegung zusammen:
Wir haben die imaginäre Einheit i, sie ist algebraisch bzgl. R mit Minimalpolynom f = x^2 + 1. Dann folgt, dass die komplexen Zahlen C = R[i] = R(i) isomorph zu dem Faktorring R[x] / f sind.
Denn die Abbildung V : R[x] —> C, die ein Polynom g auf g(i) abbildet, ist ein surjektiver Homomorphismus von Ringen mit Bild R(i) = C und Kern {g : g(i) = 0}, was gerade das Hauptideal von f ist. Nach dem Isomorphiesatz für Ringe folgt dann die Isomorphie, die du genannt hast.
Jedoch reden wir hier immernoch von einer Isomorphie und keiner Gleichheit.
Denke V passt nicht. Aber braucht man nicht wirklich.
Rx / f ist eine algebraische Körpererweiterung von R reicht mal denke ich da dim C/R =2.
Ich darf hinweisen das die Definition über Rx/ f die Standarddefinition ist - indem man statt f die bestimmte Gleichung f(X)=0 angibt statt den Quotienten zu bilden. Was das selbe ist - insbesondere mit Verweis auf den Satz aus der Gruppentheorie: Jede Gruppe ist Quotient aus einer freien Gruppe.
Mit Verlaub möchte ich auf das Rechnen im Quotienten hinweisen- was wenn bekannt die Diskussion meiner Meinung nach obsolet macht.
Und isomorpie oder Gleichheit ist in angedacht des einfachen isos mehr oder weniger daa selbe.
Wie gesagt sobald man C hat kann man R(i) definieren aber nicht ohne C .
Im ersten Fall kommt nur ein Element dazu (i), im zweiten unendlich viele.
Weil einem z.B x² = 3 die Wurzel aus 2 nicht weiterhilft.
Ja aber es geht ja um die Gleichung x^2 = 2 und x^2 = 1
Die haben doch beide reelle Lösungen? Durch die Definition von i werden "viele" Lösungen möglich, Wurzel 3 lässt sich nicht über Wurzel 2 darstellen.
Ja aber was hat das jetzt mit der quadratischen Körpererweiterung zu tun?
Es geht darum, dass man bei der Körpererweiterung Q —> Q(a), wobei a eine Lösung der Gleichung x^2 - 2 = 0 ist, a als a = sqrt(2) setzten darf. Obwohl a ja in Q nicht existiert
Warum ist das aber bei der Körpererweiterung R —> C = R(i) ein Problem i als sqrt(-1) zu setzen? Hier existiert zwar sqrt(-1) in R auch nicht, aber warum darf man das oben und hier nicht?
Tatsächlich ist in beiden Fällen die Idee eine unterschiedliche. Die Idee bei Q zu R ist es Q zu vervollständigen. Es ist eine der grundsätzlichen großen Leistungen der Analysis des 19. Jahrhunderts zu erkennen dass die Vervollständigung von Q zu R nur durch Hinzunahme eines zusätzlichen Axioms, des Vollständigkeitsaxioms ("Jede Cauchyfolge ist konvergent" oder "jede nach oben beschränkte Menge hat ein Supremum" oder "Jeder Dedekindsche Schnitt definiert genau eine Reelle Zahl" etc.) gelingen kann. Erst mit dieser Vervollständigung konnte eben gezeigt werden das irrationale Zahlen reelle Zahlen sind und die Rechengesetze für sie genau so gelten wie für die rationalen Zahlen und zusätzlich die Gleichung x² = a für jedes a > 0 genau zwei Lösungen hat. Diese werden als + und -sqrt(a) bezeichnet.
Der Übergang von R nach C gelang durch einen völlig anderen Ansatz, der aber im Wesentlichen tatsächlich auf der Hinzunahme der imaginären Einheit und der Zerlegung der komplexen Zahl in einen reellen und einen imaginären Teil beruht. Die Erkenntnis dass für diese komplexen Zahlen, die zunächst nur dem Auflösen sonst so störrischer Nullstellengleichungen dienten tatsächlich einen Körper bilden in dem wie im Reellen gerechnet werden konnte kam erst später
Ich verstehe was du meinst. Doch ist die Idee gar nicht mal so unterschiedlich.
Während x ≠ 0 eine Basis von R als eindimensionalen R-Vektorraum ist, ist x,i eine Basis von C als zweidimensionaler R-Vektorraum. O.E. nimmt man immer x = 1. Der Grund warum 1, i eine Basis von C und C zweidimensional bzgl. R ist, dass nach der Definition der imaginären Einheit als i = sqrt(-1) die Gleichung x^2 + 1 = 0 lösbar ist und das dann also das über R irreduzible Polynom x^2 + 1 diese als Nullstelle hat. Damit ist i algebraisch und hat x^2 + 1 als Minimalpolynom über R, wodurch dann R(i) = R[i] als R-Vektorraum die Dimension 2 = deg(x^2 + 1) hat. Und das ist gerade als C definiert.
Genauso ist das ja auch bei der Körpererweiterung Q(a) / Q zweiten Grades, wobei a = sqrt(2) eine Lösung der quadratischen Gleichung x^2 - 2 = 0 ist.
Nein, du beschreibst zunächst eine Vektorraumerweiterung von R² (jedes linear unabhängige (x1; y1) und (x2; y2) ist eine Basis von C!), die Tatsache das (0; 1)*(0; 1) = (-1; 0) ist eine Folge der zusätzlich zu den Vektorraum-Axiomen in C definierten Multiplikation. Nebenbei ist R² der einzige Vektorraum der auf diese Weise zu einem Körper erweitert werden kann.
Die Erweiterung des Körpers Q zu R mittels Vervollständigung ist (zumindest aus Sicht der Analysis) ein grundsätzlich anderes Verfahren.
Ich rede aber aus der Sicht der Algebra, nicht der Analysis.
Aus algebraischer Sicht verstehe ich nicht einmal die Restklassenbeziehungen die du aufschreibst, was damit zu tun haben mag dass ich Algebra nach dem Vordiplom einfach ignoriert habe. Ich verstehe aber immer noch nicht was überhaupt deine Frage ist. Ich verstehe auch nicht was der Satz
Warum ist das aber bei der Körpererweiterung R —> C = R(i) ein Problem i als sqrt(-1) zu setzen?
bedeuten soll. Denn wie bereits gesagt, diese Beziehung ist keine Voraussetzung, sondern folgt aus der Definiton der Multiplikation in R².
C / R bedeutet hier die Körpererweiterung von R nach C, keine Restklassenbeziehung.
Und was soll Q(a)/Q sein? Die Erweiterung von R nach C ist offensichtlich algebraisch, da gab es ja von mir keine Diskussion. Man packt einfach eine Dimension dazu und stellt fest dass mit geeigneter Definition der Multiplikation weiter ein Körper vorliegt. Analytisch wird es erst mit der Einführung des Abstandes und der Feststellung dass damit Grenzprozesse wie in R funktionieren.
Ja Q(a) / Q ist die Erweiterung von Q nach Q(a) = {x+ya : x,y rational}, wobei a eine Lösung der rationalen quadratischen Gleichung x^2 - 2 = 0 ist. Wir können direkt a = sqrt(2) schreiben, denn es macht mit dem Vorzeichen kein Unterschied.
Meine Frage ist, dass wir hier a = sqrt(2) setzten können, aber warum können wir das nicht in der Körpererweiterung R nach C mit i = sqrt(-1)? Viele sagen, dass sqrt(-1) in R nicht existiert, das ist klar, aber genau genommen ist es ja bei Q nach Q(a) dasselbe, dass a nicht in Q existiert, aber da schreibt man a = sqrt(2) trotzdem.
Ja Q(a) / Q ist die Erweiterung von Q nach Q(a) = {x+ya : x,y rational}, wobei a eine Lösung der rationalen quadratischen Gleichung x^2 - 2 = 0 ist.
Das kann aber nie R ergeben, da ja offensichtlich transzendente Zahlen nicht erfasst werden. Dein ganze Logik ist nicht schlüssig.
Man vergesse die Transzendenz Zahlen nicht... daher ist es algebraisch nicht so leicht. C ist isomorph zu R2 als R- Vektorraum .
Des Weiteren ist C =R[X] / ( x^2+1)
In dem Falle sind sowohl sqrt(2) als auch i algebraisch bzgl. Q bzw. R. Ich verstehe daher nicht, was du damit meinst.
Es geht darum, dass man bei der Körpererweiterung Q —> Q(a), wobei a eine Lösung der Gleichung x^2 - 2 = 0 ist, a als a = sqrt(2) setzten darf. Obwohl a ja in Q nicht existiert
Warum ist das aber bei der Körpererweiterung R —> C = R(i) ein Problem i als sqrt(-1) zu setzen? Hier existiert zwar sqrt(-1) in R auch nicht, aber warum darf man das oben und hier nicht?
Doch sqrt(-1) gibt es. Nur weil es das nicht in R hibt, heisst das nicht, dass es das allgemein nicht gibt. Beispiel: sqrt(2) gibt es in Q auch nicht, aber in der Körpererweiterung Q(sqrt(2)) in der Tat schon
Dann definierst du C zirku Lär. Außerdem hat das polynomn2 Nullstellen. Also nicht wohldefiniert.
Das ist völlig egal, denn es gilt ja auch z.B. Q(sqrt(2)) = Q(-sqrt(2)). Das ist sogar trivial. Genauso ist 1, -i eine Basis von C. D.h. das negative Vorzeichen ändert nichts daran :)
Wieso? Die algebraischen Zahlen sind zueinander konjugiert und teilen dasselbe Minimalpolynom.
Darum definiert man i :=x in R[X]/ ( x^2+1)