Die Dauer eines Fadenpendels ist 1s. Wenn die Länge des Fadens 9 mal vergrößert wird, beträgt die Dauer: a) 1s; b) 0.5s; c) 3s; d)0.33s?

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2 Antworten

Die Schwingungsdauer T bzw. die Kreisfrequenz ω=2π/T eines Fadenpendels (nicht das Pendel dauert soundso lange, sondern seine Schwingung) lässt sich aus der Differentialgleichung für es herleiten, welche die Beziehung zwischen Auslenkung und Rückstell'kraft' beschreibt. Letztere kann auch z.B. ein Drehmoment sein.

Beim Fadenpendel ist die antreibende Kraft die Schwerkraft m|g›, wobei |g› die Gravitationsfeldstärke ist. Sie teilt sich in einen radialen Anteil

(1.1) |F[radial]› = m⋅g⋅L⋅cos(θ)|1.r›

und einen tangentialen Anteil

(1.2) |F[tangential]› = −m⋅g⋅L⋅sin(θ)|1.θ›

auf, wobei natürlich L die Länge des Fadens und θ der Winkel mit dem Lot ist.

Die Einheitsvektoren |1.r› und |1.θ› zeigen die Richtung weg vom Aufhängepunkt und weg von der Gleichgewichtslage an, deshalb steht in (1.2) ein Minuszeichen.

Der radiale Anteil bewirkt nichts, denn er wird stets durch eine Gegenkraft kompensiert, die der Faden aufbringt. Der tangentiale Anteil lässt sich als Komponente auch als m⋅L⋅θ̈ oder m⋅L⋅d²θ/dt² schreiben. So entsteht die Differentialgleichung

(2.1) m⋅L⋅d²θ/dt² = −m⋅g⋅sin(θ),

aus der sich m sofort herauskürzt. Schwingungen von Federpendeln sind unabhängig von der Masse. Übrig bleibt

(2.2) d²θ/dt² = −(g/L) ⋅sin(θ),

was freilich eine nichtlineare Differentialgleichung darstellt. Bei kleinen Werten für θ lässt sich der Kreisbogen kaum noch von der Bogensehne unterscheiden, es ist

sin(θ) ≈ θ,

natürlich im Bogenmaß. Dadurch ergibt sich die Näherung

(2.3) d²θ/dt² ≈ −(g/L)θ,

die zu einer harmonischen Schwingung führt, denn

(3) (d²/dt²)(cos(ωt)) = −ω²cos(ωt).

Deshalb muss man (g/L) mit ω² identifizieren und die Quadratwurzel daraus ziehen, um ω=2π/T zu gewinnen. Man kann natürlich auch direkt

g/L = 4π²/T²

rechnen, d.h. insbesondere, und nur darauf kommt es hier an, T² ∝ L. Deshalb ist natürlich c) richtig.

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T=2*PI*Wurzel(l/g)

T...Periodendauer
l...Länge
g...9,81 m/s²

Den Rest kannst du selber, oder?

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Kommentar von ellie1200
19.06.2017, 23:04

Ya.. also c)?

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