Die Ableitung von 3^(x ln(x))?

3 Antworten

Hallo,

zunächst einmal mußt Du allgemein wissen, wie f(x)=a^x abgeleitet wird, wobei a irgendeine Konstante oder ein Term ohne x ist.

Du mußt zunächst a^x in e^ln(a^x) umschreiben. Da sich die e-Funktion und die Logarithmusfunktion gegenseitig aufheben, ist e^ln(a^x) nichts anderes als a^x.

Den Trick mußt Du Dir unbedingt merken - Du brauchst solche Umformulierungen auch für manche Beweise oder für die Suche nach Grenzwerten.

ln(a^x) ist dasselbe wie x*ln(a), deshalb kannst Du die Funktion nun in 
e^(x*ln(a)) umformen.

Jetzt kannst Du nach der Kettenregel die Ableitung bilden:

Die innere Ableitung ist ln(a), die äußere e^x, weil e^x auf sich selbst ableitet.

Du bekommst also als Ableitung für f(x)=a^x
f'(x)=ln(a)*e^ln(a^x)=ln(a)*a^x.

Auch diese Ableitung solltest Du Dir notieren und in den Schatz Deiner Grundableitungen aufnehmen.

Mit diesem Hintergrundwissen kannst Du Dich nun an die eigentliche Aufgabe machen:

3^(x*ln(x)) ist etwas ähnliches wie a^x, wobei a hier die 3 ist und x hier x*ln(x).

Nun kannst Du die Kettenregel anwenden. Innere Ableitung (Produktregel):
ln(x)+1 (die Ableitung für ln(x) ist 1/x)

Äußere Ableitung: ln(3)*3^x

Du bekommst also f'(x)=(ln(x)+1)*ln(3)*3^(x*ln(x)) heraus.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hey! Ich bins nochmal, ich geh gerade ein paar alte Fragen durch.

hier hat sich noch eine Frage ergeben und zwar:

laut FS ist f(x): a^x -> f´(x) = (ln a) * a^x

müsste es dann nicht ln(3) * 3^(x*ln (x) ) heißen?

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Schau mal in deiner Formelsammlung, was die Ableitung von a^x (Exponentialfunktion) ist.


Ableitung von T(t) = 25 - 21*e^-0,01t?

Hallo,

kann mir jemand Helfen diese Funktion

T(t) = 25 - 21*e^-0,01t

abzuleiten?

Ich glaube ich muss hier die Produktregel und Kettenregel anwenden. Wenn ich das mache, tauchen bei mir Fehler auf.

Das ist mein Ansatz :

Produktregel: (u*v)´ = u´ * v + u * v´

Dabei ist

u = -21 und u´ = 0

v = e^-0,01t und v´= ???

Kettenregel: (u*v)´ = u´(v(x)) * v´

u = e^t und u´= e^t

v = -0,01t und v = -0,01

Wenn ich jetzt e^-0,01t ableite und in die Funktion für die Produktregelformel einsetze muss ich wieder die Kettenregel und die Produktregel anwenden. Dieser letzter Vorgang erzeugt bei mir einen "Rattenschwanz", also ich muss den letzten Vorgang bei dem nächsten Schritt wieder machen. Irgendwas mache ich falsch bzw. habe etwas wohl nicht verstanden, weiß aber auch nicht was. : - (

Vielen Dank für die Hilfe.

LG

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