Die Ableitung kann nicht die genaue Steigung an diesem Punkt abgeben oder?

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2 Antworten

Die Ableitungsfunktion einer Funktion ist die Gesamtheit aller Anstiege einer Funktion an einem Punkt.

Wenn und also die Ableitungsfunktion hast und setzt einen bestimmten wert ein erhälst du den Anstieg an diesem Punkt

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emily2244 18.10.2016, 21:23

Aber man sagt ja die Ableitung. Ist der Grenzwert und ein Grenzwert wird von der Funktion nur annähernd erfüllt?

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Hallo,

das ist schon die genaue Steigung, nämlich die Steigung der Tangente an diesem Punkt. 

Herzliche Grüße,

Willy

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emily2244 18.10.2016, 21:26

Aber man sagt ja die Ableitung. Ist der Grenzwert und ein Grenzwert wird von der Funktion nur annähernd erfüllt?

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Willy1729 18.10.2016, 21:55
@emily2244

Nein. Mit Hilfe einer Grenzwertberechnung wird die Ableitung ermittelt. Du kannst an eine Stelle an einem Funktionsgraphen, so er denn dort differenzierbar ist, also keine Polstelle oder einen Knick oder so etwas aufweist, eine Tangente anlegen. Eine Tangente ist eine Gerade mit einer exakt bestimmbaren Steigung. Sie ist identisch mit der Steigung der Funktion an dieser Stelle.

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emily2244 18.10.2016, 22:25

Aber warum geht das mit der grenzwertberechnung?

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Willy1729 18.10.2016, 22:33
@emily2244

Weil man bei der Berechnung des Differenzenquotienten 

[f(x+h)-f(x)]/h durch geschicktes Umformen erreichen kann, daß h aus dem Nenner verschwindet und dann sogar mit Null gleichgesetzt werden kann.

Beispiel: f(x)=x²

f(x+h)=(x+h)²

[(x+h)²-x²]/h=(x²+2hx+h²-x²)/h=(2hx+h²)/h=[h*(2x+h)]/h=2x+h

Da h gekürzt werden konnte, hast Du nur noch 2x+h. Jetzt darf h nicht nur gegen Null gehen, sondern sogar gleich Null gesetzt werden und als Differentialquotient, der der Ableitungsfunktion entspricht, bleibt 2x übrig. h ist verschwunden, Du kannst für x beliebige Werte einsetzen und bekommst exakte Ergebnisse.

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emily2244 18.10.2016, 22:34

Aber der differenzialquotient ist der Grenzwert des differenzenquotienten oder ?

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Willy1729 18.10.2016, 22:38
@emily2244

Ja, ist er. Aber 2 ist auch der Grenzwert von 2+h für h gegen Null und trotzdem eine exakte Zahl.

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emily2244 18.10.2016, 22:40

Aber hä? Warum sagst du dann dass die Ableitung kein Grenzwert ist sondern diese nur mit der grenzwertberechnung berechnet werden kann?

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Galdur 19.10.2016, 14:20
@emily2244

Die Ableitung ist der Grenzwert einer Annäherungsbetrachtung. Das ist schon richtig.

Aber wie bereits Willy gesagt hat, durch geschicktes Umformen kann man die Laufvariable eliminieren, was mathematisch absolut legitim ist. Auf einmal wird aus einer Annäherung ein exakter Wert.

Klingt vielleicht magisch, aber wenn du das Beispiel  f(x)=x² von Willy mal genau untersuchst, wirst du feststellen, dass dies doch gar nicht so magisch ist.

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