Definitionsbereich / Wertebereich?

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3 Antworten

Du meinst offenbar f(x) = 8 + ∛(x + 8x²).

Die dritte Wurzel ist über ganz  definiert, insofern ist das auch bei f der Fall.

Für den Wertebereich berechnest du die Extrema der Funktion, du musst sie also erstmal ableiten:

f(x) = 8 + ∛(x + 8x²)

Mit der Kettenregel kommst du auf:

                  16x + 1
f'(x) = —
              3*∛(8x² + x)²

Jetzt setzt du f'(x) = 0:
Ein Bruch wird null, wenn der Zähler null wird, also:
16x + 1 = 0 ⇔ x = -1/16

Jetzt noch f(-1/16) berechnen:

f(-1/16) = 8 + ∛(-1/16 + 8*(-1/16)²) = 8 - (∛2)/4 7,6850

Wenn du kein Schaubild vor Augen hast, würde ich dir empfehlen, noch die Art des Extrempunkts mithilfe der zweiten Ableitung zu bestimmen. Es ist ein Minimum.

Da wir kein Maximum haben, ist die Wertemenge nach oben offen.

Damit gilt: W = {x ∈ ℝ | x ≥ 8 - (∛2)/4} bzw. W = [8 - (∛2)/4; [

LG Willibergi

123456789qwe 20.01.2017, 17:54

Hab jetzt die Lösung und dort wird gesagt,

W : von 8 bis unendlich

D: - unendlich bis -0,125 und von 0 bis unedlich

Was du geschrieben hast erscheint mir logisch, ist aber scheinbar falsch :(

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precursor 21.01.2017, 06:40
@123456789qwe

Nee, in deinem Lösungsbuch oder was auch immer hat es sich jemand eben nur extrem einfach gemacht und einfach auf eine ganze Zahl aufgerundet, das ist alles. Wahrscheinlich wurde es nur an einer grafischen Zeichnung abgelesen, und grafische Zeichnungen in Büchern und Co sind nun mal meistens ziemlich grob und ungenau.

7,685... ist gerundet eben 8

Loben kann man den Hersteller des Lösungsbuches dafür allerdings nicht, kann auch sein, dass ihr noch keine (oder nicht vernünftig) Differentialrechnung hattet und es deshalb vereinfacht im Lösungsbuch dargestellt wurde.

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123456789qwe 21.01.2017, 09:51
@precursor

Ok kann sein, dass das ein Fehler ist, aber was ist mit D?

Es wurde hier ja bereits gesagt, f sei über ganz R definiert, was meiner Meinung auch so ist, aber in der Lösung steht halt was anderes.

In dem scheinbar nicht definierten Bereich sieht der Graph auch ein wenig sonderbar aus.

Und wenn D von -1,25 bis 0 nicht defniert ist, macht auch der Wertebereich von 8 bis undendlich Sinn.

Wäre toll wenn mir jemand erklären könnte wieso f dort nicht definiert sei.

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Du musst für W halt den Tiefpunkt der Funktion bestimmen und der liegt bei 8+3.Wurzel aus 0,03... (du kannst auch erst nur den Tiefpunkt der Funktion in der Wurzel bestimmen)

Meinst du 8 + ∛(x + 8 * x ^ 2) oder 8 + ∛(x) + 8 * x ^ 2 ?

precursor 20.01.2017, 09:58

Im Falle von 8 + ∛(x + 8 * x ^ 2) lautet die 1.te Ableitung -->

(1 / 3) * (1 + 16 * x) / ((x + 8 * x ^ 2) ^ (2 / 3))

Nur der Zähler interessiert -->

(1 / 3) * (1 + 16 * x) = 0 | : (1 / 3)

(1 + 16 * x) = 0

x = - 1 / 16

8 + ∛((- 1 / 16) + 8 * (- 1 / 16) ^ 2) = 7.6850197375262817...

Punkt (-1 / 16 | 7.6850197375262817...)

Wertebereich >= 7.6850197375262817...

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