Definition der KgV und Primzahlen mit Prädikatenlogik?

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2 Antworten

P(x,y,z) soll unter Interpretation in |N genau dann gelten, wenn z=kgV(x,y).

Dann überleg dir. In |N gilt:

z=kgV(x,y) gdw.
x|z & y|z &
(für alle w) (w habe diese Eigenschaft ==> z|w)

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Kommentar von kreisfoermig
05.11.2016, 08:15

Nochmals genauer (ich war am Handy als ich dies schrieb).

Es kommt auf deine Sprache an. Ich gehe von einer Sprache der Signatur {·, …} aus, wobei · für Multiplikation steht.

Definiere
T(x,y) :≣ (∃z) x·z=y
wobei z eine beliebig gewählte Variable
fremd zu {x,y}, d. h. die Wahl häng von x,y ab.
Die Formel lässt sich in ℕ interpretieren als:
(ℕ,·) ⊨ T [n,m] ⟺ ∃k∈ℕ: nk=m
⟺ n|m

Dann

Definiere
K(x,y,z) :≣ T(x,z) ⋀ T(y,z)
⋀ (∀w)[(T(x,w)⋀T(y,w)) —→ T(z,w)]

wobei w eine beliebig gewählte Variable
fremd zu {x,y,z}.
Die Formel lässt sich in ℕ interpretieren als:
(ℕ,·) ⊨ K [a,b,c] ⟺ (ℕ,·) ⊨ T [a,c]
und (ℕ,·) ⊨ T [b,c]
und ∀u∈ℕ:
wenn (ℕ,·) ⊨ T [a,u]
& (ℕ,·) ⊨ T [b,u]
dann
(ℕ,·) ⊨ T [c,u]

⟺ a|c & b|c
und ∀u∈ℕ:
wenn a|u & b|u
dann c|u

⟺ c=Min{u∈ℕ : a|u & b|u}

⟺ c=kgV(a,b).

Darum ist die Formel K(x,y,z) als eine Kodierung von KGV.

Für Primzahl:

P(x) :≣ (∀y)(T(y,x) —→ (y=S0 ⋁ y=x))
⋀ ¬(x=0) ⋀ ¬(x=S0)

Hier gehe ich von der Sprache {·,S,0,...} aus, wobei S als Nachfolger (‘successor’) interpretiert werden soll und 0 als die Null.

0

 Es muss nur eine ===> Gradfunktion erklärt sein; ich habe vergessen, wie man solche Ringe nennt - damit du ein Minimum definieren kannst. Am Besten gehst du immer über ===> Ordinalzahlen als Indexmenge, die der Matematiker bekanntlich so fürchtet wie Teufel das Weihwasser; hier kennste den?

   " Das ===> Auswahlaxiom ist trivial erfüllt.

   Der ===> wohlordnungssatz KANN einfach nicht stimmen.

   Und beim Zornschen Lemma wird man sehen ... "

   Du hast also eine Menge x ( i ) von Algebra-Elementen; i € O sind Indexe aus einer geeigneten Ordinalzahl O . Jetzt definiere ich ein gemeinsames Vielfaches v all dieser x :

   v = gv ( x ) : (V) x (E) y = y ( x ) | v = x y  ( 1a )

    und das kgv

    kgv  (  x  )  =  min  [  gv ( x )  ]   (  1b  )

   (V)  v  |  kgv  (  x  )  <  =  v

   Diese Gradfunktion ist ja eine Halbordnung; worüber du mal nachdenken müsstest: Ob dieses Minimum eindeutig ist - kgv ist nicht sehr prominent in der Algebra; selbst in Wiki findest du da noch mehr.

   Mir liegt vor: das Algebraskript von Reifen-Scheja bei B . I  Du musst nämlich bedenken, dass eine Promzahl begrifflich etwas anderes ist als eine unzerlegbare Zahl; Primzahlen sind unzerlegbar, aber i.A. nicht umgekehrt. Äquivalent sind beide Begriffe auf Hauptidealringen; hier die korrekte Definition. p ist eine von Null verschiedene Nicht-===> Einheit

  p  |  a  b  ===>  p  |  a  v  p  |  b    (  2a  )

   (E) z = z ( a b ) | a b = p z ===>    (  2b  )

   ===>  (E)  x  |  a  =  p  x  v  b  =  p  x  (  2c  )

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