Deckt ein Kreis mit unendlich großem Radius den Vektorraum R2 vollständig ab?

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5 Antworten

M. E. ja.

Du kannst eine bijektive Abbildung zwischen dem IR² und der Fläche des "unendlichen Kreises" aufstellen, demnach sind beide isomorph, d. h. mathematisch gleichwertig.

Die Intuition funktioniert nur darum nicht, weil Heftseiten nicht rund sind ... ;-)

Scherz beiseite: Die Form, in der wir üblicherweise den IR² darstellen, ist ja keine "grundlegende Eigenschaft" dieses Vektorraumes, sondern nur der Tatsache geschuldet, dass wir üblicherweise rechteckige Flächen (Papierbögen, Tafeln etc.) dafür verwenden.

Würdest Du (wie die "alten Griechen") deine Zeichnungen einfach in den Sand auf dem Fußboden ritzen (und das möglichst irgendwo auf einem großen Platz), würde Dir der intuitive Vergleich wesentlich leichter fallen ...

Es ist aber eben auch so, dass es uns schwerfällt, uns "unendliche" Dinge vorzustellen. Wenn wir konsequent bis zur Unendlichkeit denken, gibt es aber überhaupt keinen Unterschied mehr zwischen Kreis und Rechteck oder jedem anderen beliebigen regelmäßigen oder unregelmäßigen Polygon.

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Kommentar von kreisfoermig
16.10.2016, 14:01

nicht nur existiert eine Bijektion, sondern R^2 IST gleich der unendlichen Kugel. Etwas weniger trivial (aber nichtsdestotrotz trivial):
R^n ist homoömorph zu jeder nicht leeren offenen Kugel. Noch was: ein normierter Raum ist homoömorph zu jeder nicht leeren offenen konvexen Teilmenge (und weitere Verallgemeinerungen existieren).

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Bei Unendlich unterscheidet man eine Mächtigkeit. So ist z.B. Unendlich zum Quadrad mächtiger als Unendlich selbst. Ein unendlich großer Raum ist damit mächtiger als eine unendlich große Fläche. Das sind eher philosophische Betrachtungen als mathematische Notwendigkeiten. Fünf mal 0 ist auch nicht mehr als drei mal 0. Das ist bei Unendlich genauso.

Wenn mir 5 Leute jeweils 100 € schulden und nicht zahlen ist genauso viel wie 2 mit dem gleichen Betrag, die nicht zahlen. Trotzdem sieht man einen Unterschied in eine bestimmte Richtung. Man könnte vielleicht sagen: Die Schulden der 5 sind mächtiger als die Schulden der 2.

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JEIN.
Nein
: Es gibt keinen Kreis mit dem Radius ∞. Das Wort KREIS ist aber falsch. Kreis bezieht sich auf den bloßen Rand. Der treffende Begriff hier ist Kugel.
    Ja: es stimmt in einem metrischen Raum (X, d), z. B. (ℝⁿ, d) mit d(x,y) := ||x–y|| für alle x,y∈ℝⁿ), dass

⋃{B(x₀;r) | r∈(0,∞)} = X,

wobei B(x₀;r) := der offene Kugel (en. ‘ball’) alle Punkt y um x₀ mit d(y,x₀) < r. Das heißt, die VEREINIGUNG aller Kugeln um einen beliebigen aber fixierten Punkt und mit immer größeren Radii deckt den Raum ab.

Man kann ja Formal die Kugel B(x₀;∞) definieren als {y∈X : d(x₀,y)<∞} und dann gilt B(x₀;∞) = ⋃{B(x₀;r) | r∈(0,∞)} = X.

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Das würde ich schon sagen. Schließlich hat ein unendlich großer Kreis ja keine Ränder und kann daher als eine Ebene gesehen werden.

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super Gedankenrätsel eine eindeutige Antwort habe ich leider nicht, ich bin für die Variante "Ja aber Nein" ;D

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