De Broglie: Wellenlänge -> Wahrscheinlichkeit einer Welle?

2 Antworten

Hallo tbs37,

die Frage führt ein wenig in die Irre, denn nach der Definition eines Teilchens als elementarer Einheit eines Materie- bzw. Kraftfeldes ist ein Teilchen selbstverständlich immer ein Teilchen.

Ein „Teilchen“ im Sinne der Vorstellung als kleines Kügelchen, eines „Dinges“ ist es hingegen niemals.

„Dinge“ sind emergente Strukturen aus vielen Teilchen, die sich niemals so gleichen wie ein Elementarteilchen dem anderen (gleicher Art), sodass man „Dinge“ prinzipiell unterscheiden kann, auch wenn sie sich noch so ähnlich sind, Teilchen sind prinzipiell ununterscheidbare Strukturen.

Man kann sie am besten als elementare Anregungen des entsprechenden Feldes auffassen, vergleichbar der Schwingung einer Saite. Die Frequenz f ist streng proportional zur Energie E, und der Proportionalitätsfaktor ist das PLANCK'sche Wirkungsquantum h und ist eine universelle Konstante.

Universelle Konstanten sind im Grunde Artefakte eines Maßsystems, das für unbedingt zusammengehörige Größen wie eben Frequenz und Energie unterschiedliche Maßeinheiten verwendet.

In natürlichen Einheiten ist eine solche Konstante gleich 1, und man kann Frequenz und Energie (eines Teilchens) gleichsetzen, respektive, mit dem reduzierten PLANCK'schen Wirkungsquantum ħ=h/2π, die Kreisfrequenz ω=2πf:

E = h·f = ħ·ω

Dieselbe streng proportionale Beziehung wie zwischen Kreisfrequenz und Energie besteht auch zwischen Wellenvektor und Impuls:

p› = ħ·k›

Der Wellenvektor k› zeigt in die Richtung der Wellenausbreitung (immer lokal), und sein Betrag ist

|k›| = 2π/λ,

wobei λ die Wellenlänge ist. In der Tat, je kleiner der Impuls und damit auch die Geschwindigkeit eines Teilchens ist, desto größer ist seine Wellenlänge. Das gilt auch für Elektronen im Atom. Deshalb kann es dort auch nur bestimmte Energiezustände einnehmen - es muss eine stehende Welle bilden. So erklärte DE BROGLIE ganz zwanglos die von BOHR zunächst ad hoc eingeführte Quantisierung der Energie.

Wenn von der thermischen DE BROGLIE-Wellenlänge die Rede ist, geht es natürlich um einen Mittelwert des Impulses bzw. Wellenvektors, denn es haben eben nicht die Teilchen alle denselben Impuls.

Meistens hat ein Teilchen weder einen scharf bestimmten Ort noch einen bestimmten Impuls, und beides zugleich geht definitiv nicht; es geht für die Unschärfen beider Größen eine Untergrenze ħ/2. Dies ist HEISENBERGs Unbestimmtheitsbeziehung, und die Wellennatur eines Teilchens erklärt auch dies ganz zwanglos.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Hi,

alle Teilchen haben sowohl einen Wellen- als auch einen Teilchencharakter.

Bei massereichen Teilchen wie der Erde oder einem Stein spielt der Wellencharakter keine Rolle mehr und es gelten die Regeln der klassichen Physik. Zum Beispiel für einen Steinwurf oder die Erdumlaufbahn.

Bei extrem massearmen Teilchen dominiert im Umkehrschluss daher der Wellencharakter und der Teilchencharakter spielt keine Rolle mehr. Zum Beispiel bei Elektronen oder Photonen.

Temperatur, Geschwindigkeit und Wellenlänge sind ein Maß für die Energie eines Teilchens. Hat das Teilchen eine hohe Energie, dann ist seine Temperatur hoch, seine Geschwindigkeit und sein Impuls hoch oder seine Wellenlänge klein. Je nachdem, ob ich das Teilchen als klassisches Teilchen oder Welle beschreiben möchte.

Eine niedrige Temperatur hat daher keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit für eine Welle, sondern nur auf die Wellenlänge.

Die Wellenfunktion ist etwas sehr komplexes und nicht nur Frequenz und Amplitude (wie beispielsweise eine einfache sin(x) -Funktion). Das Quadrat der Wellenfunktion gibt den wahrscheinlichen Aufenthaltsort des Teilchens (z.B. des Elektrons) an und damit die sogenannten Orbitale der Atomschalen.

m.f.g.

anwesende     

Achso, ok. Danke :-) Je weniger Masse, desto eher dominiert der Wellencharakter. Und wie begründet es sich, dass ausgerechnet das Quadrat der Wellenfunktion den wahrscheinlichen Aufenthaltsort wiedergibt?

0
@anwesende

Ok. Und gibt es noch einen tiefgründigeren Grund als die Masse, dass es eine Welle ist?

0
@tbs37

nein; die Masse ist das entscheidende Kriterium. Energie ist "gequantelt" mit h (Planck´sches Wirkungsquantum) und E-m*c^2.

Stell dir ein Pendel vor. Selbstverständlich kannst du die Kugel am Ende des Fadens in kontinuierlich jede beliebige Höhe auslenken und das Pendel schwingen lassen.

Ist die Kugel aber nur ein Elektron, stellst du fest, daß die obige klassische Betrachtung nicht mehr funktioniert und du tatsächlich nur in "Schritten" (eben dem Plank´sche Wirkungsquantum entsprechend) heben kannst.

das ist der Unterschied zwischen der klassischen Physik und Quantenphysik. Eben die Masse des betrachteten Teilchens 

0

Was möchtest Du wissen?