Covid-Selbsttest und Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Angenommen ich mache einen Covid-Selbsttest der eine Zuverlässlichkeit von 75% hat. Am darauf folgenden Tag teste ich mich erneut mit dem selben Testverfahren. Ich habe also zwei Wahrscheinlichkeiten von 75%.
Wächst die Zuverlässlichkeit nach dem 2. Test und wie hoch ist diese dann insgesamt?
Ich erinnere mich dunkel aus der Schulzeit dass Wahrscheinlichkeiten entweder addiert oder multipliziert werden müssen, je nach Umstand.
P.S.
Keine Sorge, das ist lediglich ein Beispielszenario. Bitte keine Diskussion über Covid, Impfungen und Ähnliches.
5 Antworten
Hallo,
da hast Du ein blödes Beispiel gewählt. Besser wäre hier das Beispiel eines Wurfs mit zwei Münzen.
Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens eine von ihnen Zahl zeigt, beträgt 75 %.
Wiederholst Du das Experiment, steigt die Wahrscheinlichkeit auf mindestens einmal Zahl auf 93,75 %. Das ist die Zahl, die Du haben wolltest.
Berechnet wird sie über das Gegenereignis: Es erscheint in keinem Fall die Zahl.
Bei einem Münzwurf mit zwei Münzen beträgt die Wahrscheinlichkeit hierfür 1/4 oder 25 %. Bei zweimaligem Wurf mit jeweils zwei Münzen sinkt die Wahrscheinlichkeit für keinmal Zahl auf (1/4)*(1/4)=1/16. In allen anderen Fällen, also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-1/16=15/16 ist mindestens einmal eine Münze dabei.
Bei dem Covid-Test haut diese Berechnung aber nicht hin. Die 75 % Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis kommen auch dadurch zustande, daß der Test eine Infektion, die sich im Anfangsstadium befindet, nicht nachweisen kann.
Wenn Du zufällig 100 Personen mit Covid auswählst und testet, werden etwa 75 von ihnen ein positives Ergebnis, die anderen ein falsch negatives Ergebnis aufweisen. Bist Du erkrankt, aber noch im Anfangsstadium, wird der Test noch nichts nachweisen können, egal, wie oft Du ihn durchführst. In diesem Fall würden die Chancen für ein falsches Ergebnis nicht bei 25 %, sondern praktisch bei 100 % liegen. Hier könntest Du die Sicherheit nur erhöhen, wenn Du nach einer gewissen Quarantänezeit von einigen Tagen den Test noch einmal durchführst.
Wenn Du rein mathematisch an Wahrscheinlichkeiten interessiert bist, nimm lieber echte Zufallsexperimente wie Würfeln, Münzwurf, Lotto oder Roulette oder Glücksrad als Beispiele.
Herzliche Grüße,
Willy
Multiplikation macht nur Sinn, wenn es statistisch unabhängig ist. In diesem Fall wären die mindesten Voraussetzungen also:
anderer Hersteller des Tests.
andere Person, die den test durchführt
Das mal als Haupt Punkte...
Am besten wäre ein anderes test Verfahren, z. b. pcr.
Wenn wir annehmen, die Zuverlässigkeit der beiden Tests wäre unabhängig voneinander, dann ist die Zuverlässigkeit des 2. Tests auch 75% und die Gesamtzuverlässigkeit, im Sinne, dass keiner der beiden Tests ein falsches Ergebnis liefert, ermittelt durch Multiplikation bei 56,25%.
Aber ... die Tests kann man nicht unabhängig voneinander betrachten. Wenn der eine Test durch nicht sachgerechete Lagerung defekt ist, ist es der andere vermutlich auch, weil er die meiste Zeit direkt daneben lag. Führt eine Person den Tests an einem Tag falsch durch, ist es sehr wahrscheinlich, dass sie dies auch am zweiten Tag nicht korrekt durchführt. Schlägt der Test an einem Tag auf einen anderen Körperstoff an, ist dieser vermutlich auch am nächsten Tag noch da. Ist die Menge der Antigene an einem Tag noch nicht ausreichend hoch, ist es wahrscheinlicher, dass sie auch am nächsten Tag noch nicht hoch genug ist.
Da ich diese ganzen Variablen nicht kenne, kann ich dir also keine zuverlässige, realistische Antwort geben.
Das Problem ist, dass du nicht definiert hast, was du unter Gesamtwahrscheinlichkeit verstehst. Littlethought hat dir ausgerechnet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens einer der beiden Tests zuverlässig funktioniert. Ich habe berechnet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass beide Tests zuverlässig funktionieren. Beide Antworten sind richtig und du darfst jetzt auswählen, welches Ergebnis für dich relevant ist.
Letztlich geht es in meinem vereinfachten Szenario darum wie hoch die Zuverlässlichkeit des Ergebnisses nach dem zweiten Test ist, angenommen (stark vereinfacht) der Test wurde unter den exakt gleichen Bedingungen durchgeführt und fördert zweimal das gleiche Ergebnis zu Tage, also zum Beispiel zweimal negativ. Zu wieviel % kann ich mich nach dem zweiten negativen Ergebnis darauf verlassen, dass ich tatsächlich Covid-negativ bin.
In dem Zusammenhang finde ich es eher kontrintuitiv, dass jeder weitere Test mit dem selben Ergebnis weniger verlässlich sei.
Genau dieser Kontext macht jetzt den Unterschied. In deinem Szenario würde ja bereits ein einziger positiver Test ausreichen, dass du nicht mehr davon ausgehen kannst, dass du Covid-negativ bist. Du suchst also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Test zuverlässig funktioniert. In diesem Fall ist littlethoughts Lösung die gesuchte und deine Intuition, dass die Wahrscheinlichkeit mit jedem weiteren Test steigt, ist völlig richtig.
Ich hatte deine Frage so verstanden, dass du wissen wolltest, wie wahrscheinlich es ist, dass alle Tests zuverlässig funktionieren. Du dich also beispielsweise gefragt hast, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Test falsch-positiv ausfällt, obwohl du gar kein Covid hast. In diesem Fall steigt die Wahrscheinlichkeit natürlich mit jedem zusätzlichen Test, dass ein fehlerhafter Test dazwischen ist.
Oder kurz fomuliert: mit jedem weiteren Test kannst du immer zuverlässiger ausschließen, dass du Covid hast, gleichzeitig steigt jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass dir ein Test fälschlicherweise anzeigt, dass du Covid hast. Wie gesagt, mathematisch betrachtet, medizinisch kommen andere Parameter hinzu.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit nach den beiden Tests beträgt dann 1 - 0,25^2 = 15/16 .
Wuerde ich auch gern wissen..
Bei Covid Tests ist natuerlich auch ein Faktor, dass sie genauer sind, je mehr Viren vorhanden sind, also mehr einige Tage nach Infektion.
Die von dir genannten Variabeln wurden daher bewusst ausgeklammert. Das die Wahrscheinlichkeit ein korrektes Ergebnis zu liefern nach dem zweiten Test signifikant abnimmt, scheint mir nicht schlüssig. Die Wahrscheinlichkeit sollte mindestens stabil bei 75% bleiben, eher noch zunehmen, denn wenn ein zweites Mal mit einer Methode getestet wird, die wesentlich wahrscheinlicher das richtige Ergebnis liefert als ein falsches, dann steigt die Aussagekraft (rein intuitiv ausgedrückt) doch eher noch. Die Antwort von Littlethought erscheint mir daher wesentlich schlüssiger.