Charakteristisches Polynom einer n x n - Matrix

Bild 1 - (Mathe, Mathematik, Universität) Bild 2 - (Mathe, Mathematik, Universität)

3 Antworten

Ich denke, bei so einer Matrix würde sich der Laplace'sche Entwicklungssatz anbieten.

Eigentlich möchtest du doch eine Determinante berechnen, schreib dir doch zuerst mal die Matrix auf, also mit allen Lambdas und richtigen Vorzeichen und dann kann ich PhotonX nur zustimmen.

"_ " kennzeichen Indizes (... wie geht das eigentlich besser ?!)

B _ i Basisvektoren.

Λ antikommutatives Produkt über alle ...

^ bedeutet zwischen Vektoren den Operator "Dach" des antikommutativen Produkts (aber bei einem Skalar eine Potenz)


IDEE. Die Definition der Determinante über das antikommutative Produkt

det (M) * Λ B _ i = Λ M(B _­ i ), wobei i = 0,...,n-1

ermöglicht, die Induktion in eine (übersichtlichere) Nebenrechnung zu verlagern. (Außerdem entfällt die "Pünktchenschreibweise" der Matrix zugunsten einer übersichtlicheren geschlossenen Form. ...naja, im Prinzip übersichtlicher; hier... ;) )

Für die vorgelegte Determinante M lässt sich M -λE als Operator von rechts über dem Zeilenraum auffassen. Die Basisvektoren sind also Zeilen. (Im Kopf habe ich das Ding gestürzt, weil ich die Schreibweise des zyklischen Operators so übersichtlicher finde; aber ich argumentierte formal hübsch anders herum).

Mit ein wenig Herumprobieren mit einem antikommutativen Produkt mit drei Faktoren findest du einfach folgenden Hilfssatz:

Λ (-λB_ j + B_ j+1) [j = 0,...,n-2]

= ∑ ( (-λ)^j Λ B_ i≠j ) [i,j = 0,...,n-1]

Das ist recht einfach mit Induktion zu beweisen (Der Induktionsschritt kann bei Schwierigkeiten "nachgelegt" werden.)


Also gilt für det(M -λE):

det (M - λE) Λ B_ j =

Λ (-λB_ j + B_ j+1) ^ (∑ -a_ k B_ k -λ B_ n-1) [j = 0,...,n-2; k = 0,...,n-1]

mit Hilfssatz:

= ∑ ( (-λ)^j Λ B_ i≠j ) ^ (∑ -a_ k B_ k -λ B_ n-1) [i,j = 0,...,n-1; k = 0,...,n-1]

für je ein j ergänzt der Faktor B_ k die B_ i nun genau zu je einem längsten Element der betrachteten antikommutativen Algebra;

um in jenem die richtige Reihenfolge der Faktorvektoren herzustellen, sind im j-ten Summanden n-1-j Paartausche notwendig, die das Vorzeichen dieses Summanden n-1-j-mal ändern.

= ( (-λ)^n + ∑ ( (-λ)^j (-a_ j) (-1)^(n-1-j) ) Λ B_ j ;

insgesamt also:

det (M - λE) =

= ( (-λ)^n + ∑ ( (-λ)^j (-a_ j) (-1)^(n-1-j) )

mit (-1)^j (-1) (-1)^(n-1-j) = (-1)^n:

= (-1)^n ( λ^n + ∑ ( λ^j a_ j ) [j = 0,...,n-1], q.e.d.

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