Charakteristisches Polynom einer n x n - Matrix

Bild 1 - (Mathe, Mathematik, Universität) Bild 2 - (Mathe, Mathematik, Universität)

3 Antworten

Ich denke, bei so einer Matrix würde sich der Laplace'sche Entwicklungssatz anbieten.

"_ " kennzeichen Indizes (... wie geht das eigentlich besser ?!)

B _ i Basisvektoren.

Λ antikommutatives Produkt über alle ...

^ bedeutet zwischen Vektoren den Operator "Dach" des antikommutativen Produkts (aber bei einem Skalar eine Potenz)


IDEE. Die Definition der Determinante über das antikommutative Produkt

det (M) * Λ B _ i = Λ M(B _­ i ), wobei i = 0,...,n-1

ermöglicht, die Induktion in eine (übersichtlichere) Nebenrechnung zu verlagern. (Außerdem entfällt die "Pünktchenschreibweise" der Matrix zugunsten einer übersichtlicheren geschlossenen Form. ...naja, im Prinzip übersichtlicher; hier... ;) )

Für die vorgelegte Determinante M lässt sich M -λE als Operator von rechts über dem Zeilenraum auffassen. Die Basisvektoren sind also Zeilen. (Im Kopf habe ich das Ding gestürzt, weil ich die Schreibweise des zyklischen Operators so übersichtlicher finde; aber ich argumentierte formal hübsch anders herum).

Mit ein wenig Herumprobieren mit einem antikommutativen Produkt mit drei Faktoren findest du einfach folgenden Hilfssatz:

Λ (-λB_ j + B_ j+1) [j = 0,...,n-2]

= ∑ ( (-λ)^j Λ B_ i≠j ) [i,j = 0,...,n-1]

Das ist recht einfach mit Induktion zu beweisen (Der Induktionsschritt kann bei Schwierigkeiten "nachgelegt" werden.)


Also gilt für det(M -λE):

det (M - λE) Λ B_ j =

Λ (-λB_ j + B_ j+1) ^ (∑ -a_ k B_ k -λ B_ n-1) [j = 0,...,n-2; k = 0,...,n-1]

mit Hilfssatz:

= ∑ ( (-λ)^j Λ B_ i≠j ) ^ (∑ -a_ k B_ k -λ B_ n-1) [i,j = 0,...,n-1; k = 0,...,n-1]

für je ein j ergänzt der Faktor B_ k die B_ i nun genau zu je einem längsten Element der betrachteten antikommutativen Algebra;

um in jenem die richtige Reihenfolge der Faktorvektoren herzustellen, sind im j-ten Summanden n-1-j Paartausche notwendig, die das Vorzeichen dieses Summanden n-1-j-mal ändern.

= ( (-λ)^n + ∑ ( (-λ)^j (-a_ j) (-1)^(n-1-j) ) Λ B_ j ;

insgesamt also:

det (M - λE) =

= ( (-λ)^n + ∑ ( (-λ)^j (-a_ j) (-1)^(n-1-j) )

mit (-1)^j (-1) (-1)^(n-1-j) = (-1)^n:

= (-1)^n ( λ^n + ∑ ( λ^j a_ j ) [j = 0,...,n-1], q.e.d.

Eigentlich möchtest du doch eine Determinante berechnen, schreib dir doch zuerst mal die Matrix auf, also mit allen Lambdas und richtigen Vorzeichen und dann kann ich PhotonX nur zustimmen.

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