Cauchyfolge abschätzen?

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Ich gehe mal davon aus, dass du richtig abgeschätzt hast (und dass e die eulersche Zahl, oder zumindest irgendeine andere positive Zahl, ist). Ohne Angabe der Folge kann ich das natürlich nicht nachprüfen.

Wähle N > 2/(e⋅ε)+1.

Edit: Mir ist gerade aufgefallen, dass man sogar N >= 2/(e⋅ε)+1 wählen kann.

Cauchy - (Mathematik, Physik, Folgen) Cauchy2 - (Mathematik, Physik, Folgen)

Edit2: Ich wollte eigentlich schreiben:
"Mir ist gerade aufgefallen, dass man sogar N >= 2/(e⋅ε) wählen kann."

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@mihisu

Edit3: Im zweiten Bild sollte das letzte "kleiner als"-Zeichen ein "kleiner oder gleich"-Zeichen sein. Also:

2/e ⋅ 1/N "kleiner oder gleich" 2/e ⋅ 1/(2/(e⋅ε))

statt

2/e ⋅ 1/N < 2/e ⋅ 1/(2/(e⋅ε))

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Danke für die schnelle und hilfreiche Antwort!

Eine Sache noch (ja, e ist in diesem Fall die Eulersche Zahl), könnte ma den Ausgangsterm dann noch folgendermaßen abschätzen (zur Vereinfachung):
1/e (1/(1+m) + 1/(1+n)) < 1/n + 1/m

Da ja 1/e < 1 ist und ich bei den Brüchen den Zähler kleiner mache, also den Gesamtbruch größer?

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@ELLo1997

Statt

"bei den Brüchen den Zähler kleiner mache, also den Gesamtbruch größer"

meintest du wahrscheinlich

"bei den Brüchen den Nenner kleiner mache, also den Gesamtbruch größer".


Ja, so kann man abschätzen. Dadurch kann man dann auch eine noch etwas einfacher Abschätzung für N herleiten.

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@mihisu

Wenn du e > 2 statt e > 1 abschätzt, kannst du sogar

1/e (1/(n+1) + 1/(m+1)) < 1/2 (1/n + 1/m) < 1/2 (1/N + 1/N) = 1/N

abschätzen, woran man sieht, dass man auch einfach N >= 1/ε wählen kann.

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Ah ja natürlich. Vielen Dank!

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Die Aufgabe lautete übrigens:

Man betrachte den Raum der stetigen Funktionen C[-1,1] auf dem Intervall [-1,1] ⊂ ℝ mit der Metrik d(f,g) = max_{x∈[a,b]} | f(x) - g(x) |.

Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge {f_n} (n von 1 bis ∞) mit
f_n = |x|^(1+1/n) , x ∈ [-1,1] , n ∈ ℕ bzgl. der obigen Metrik eine Cauchyfolge ist.

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Für N = 2 / (e • Epsilon) sollte es passen.

Naja, nicht ganz. Das geht nur, wenn 2 / (e • Epsilon) eine natürliche Zahl ist. Ansonsten könnte man den Wert 2 / (e • Epsilon) aufrunden, also die nächstgrößere ganze Zahl verwenden.

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Ja, ich habe N als einfache untere Schanke genommen, mit n und m dann größer als N passt es dann aber in jedem Fall, ob N jetzt natürlich ist oder nicht.

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