Bruchungleichungen mit zwei Brüchen?

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4 Antworten

Zunächst wird der Definitionsbereich bestimmt: D = R \ {0,3}

Fall1: x < 0 und x-3 < 0, also x < 0 und x < 3, somit x < 0.

Multipliziert man nun mit beiden Nennern, dann ändert sich das Relationszeichen nicht. 2/x > 4/(x-3) führt zu 2(x-3) > 4x, also 2x-6 > 4x, schließlich -2x > 6, dann ist x < -3. Aus x < -3 und x < 0 folgt x < -3.

Fall2: x > 0 und x-3 > 0, also x > 0 und x > 3, somit x > 3.

Multipliziert man nun mit beiden Nennern, dann ändert sich auch in diesem Fall das Relationszeichen nicht. 2/x > 4/(x-3) führt zu 2(x-3) > 4x, also 2x-6 > 4x, schließlich -2x > 6, dann ist x < -3. Da x > 3 sein muss, führt dies zu einem Widerspruch.

Fall3: x > 0 und x-3 < 0, also x > 0 und x < 3, somit 0 < x < 3.

Multipliziert man mit beiden Nennern, dann ändert sich diesmal das Relationszeichen, denn man multipliziert zunächst mit einem positiven x, aber anschließend mit einem negativen x-3. Also gilt 2/x > 4/(x-3) führt zu 2(x-3) < 4x, also 2x-6 < 4x, somit -2x < 6, schließlich x > -3. Kombiniert mit 0 < x < 3 folgt dann 0 < x < 3.

Fall4: x < 0 und x-3 > 0, also x < 0 und x > 3. Das ist bereits ein Widerspruch. Also auch im Fall4 keine Lösung.

Zusammenfassung: Die Ungleichung ist erfüllt für alle x aus den reellen Zahlen für die x < -3 oder 0 < x < 3 gilt.

Multipliziere beide Seiten mit (x-3):

2(x-3) < 4            -------(X-3) im Zähler und Nenner kannst du kürzen

Dann multiplizierst du links die Klammer aus:

(2 x X) - (2 x 3) > 4

2x - 6 > 4

Dann addierst du auf beiden Seiten 6:

2x -6 + 6 > 4 + 6

2x > 10

Dividiere beide Seiten durch 2:

x > 5

Die anderen Aufgaben kannst du jetzt selbst.

Sorry, habe 2x statt 2 /x genommen, aber das Prinzip müsstest du verstanden haben

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Zuerst beide Seiten durch 2 teilen ergibt 1/x > 2/(x - 3).

Dann multipliziert man mit dem Hauptnenner HN = x (x - 3).

Wenn der positiv ist, bleibt das > Zeichen unverändert: x - 3 > 2x ↔ x < - 3 .

Für diese x-Werte ist der HN tatsächlich positiv, also ist x < - 3 Lösung.

Wenn der HN negativ ist, wird aus dem > ein < ,

und es ergibt sich x - 3 < 2x ↔ x > - 3.

Der HN ist aber nur für 0 < x < 3 negativ, also ist auch 0 < x < 3 Lösung.

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