Bruchgleichungen lösen und Lösungsmenge bestimmen, wer kennt sich am besten aus?

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1 Antwort

Ich kann die Gleichung zwar nicht lesen, aber ich kann dir mal ein anderes Beispiel geben:

3x/(x+3) - 7x + 4/(5x+7) = 0  

Du möchtest bei einer Addition von Brüchen ja alle auf den gleichen Nenner bekommen, du machst also Folgendes:

3x/(x+3) - 7x + 4/(5x+7) = 0  

3x*(5x + 7)/((x+3)*(5x + 7)) - 7x*(x+3)*(5x + 7)/((x+3)*(5x+7)) + 4*(x+3)/((x+3)*(5x+7)) = 0

[ Du erweiterst alle Summanden ]

Und das ist wiederum zusammengefasst:

[ 3x*(5x + 7) - 7x*(x+3)*(5x + 7) + 4*(x+3) ]/((x+3)*(5x+7)) = 0

Wir müssen also als nächtes nun den Zähler ausmultiplizieren:

[15x² + 21x - 7x*(5x² + 7x + 15x + 21) + 4x + 12 ]/((x+3)*(5x+7)) = 0

[ 15x² + 21x - 35x³ - 49x² - 105x² - 147x + 4x + 12]/((x+3)*(5x+7)) = 0

Zusammengefasst:

[ -35x³ - 139x² -122x + 12 ]/((x+3)*(5x+7)) = 0

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich 0 ist, daher gilt es nun folgendes zu berechnen:

-35x³ - 139x² -122x + 12 = 0

Dies kann man nun mithilfe des TR lösen oder der Cardanischen Formel lösen:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/die-cardanische-formel

Man erhält schließlich als Lösungen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-35x^3+-+139x^2+-122x+%2B+12+%3D+0

x(1) = ca. -2.55

x(2) = ca. -1.51

x(3) = ca. 0.09

Nun gilt es zu überprüfen ob diese im Definitionsbereich liegen, denn obige Gleichung, mit welcher wir angefangen haben, ist nur definiert solange nicht durch 0 geteilt wird. Wann wird also einer der Nenner in dieser Gleichung 0 ?

Betrachte dazu:

[ 15x² + 21x - 35x³ - 49x² - 105x² - 147x + 4x + 12]/((x+3)*(5x+7)) = 0

Mit dem Nenner:

(x+3)*(5x+7)

Es gilt nun zu berechnen für welche x gilt:

(x+3)*(5x+7) = 0

Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist, daher folgt hier trivialer Weise:

x + 3 = 0     oder    5x + 7 = 0

Und damit die beiden Lösungen:

x(4) = -3   und    x(5) = -7/5 = - 1,4

Daraus folgt ein Definitionsbereich von: D = IR\\{ -3, -1.4}

Und eine Lösungsmenge von IL ={ x : x € { -2.55, -1,51, 0.09} }

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