Bruch-Umformung (Faktorisierung) mit e^-x im Nenner?

... komplette Frage anzeigen

7 Antworten

Äquivalenzumwandlung ohne Kehrwert

Deine Schreibweise ist etwas ungünstig: die Behauptung ist

1 / (e⁻ⁿ - 1) = eⁿ / (-eⁿ + 1)           Meine Maschine kann den Exponenten n
                                                    produzieren, x aber nicht.

So kommt klarer heraus, dass -1 und +1 nicht im Exponenten stehen, was ich zunächst annahm.

Kannst du erweitern?
http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-1.htm

Ich erweitere zunächst einfach mit eⁿ. Dann ändert sich der Wert des Bruches nicht.

1 / (e⁻ⁿ - 1) = eⁿ / (eⁿ * (e⁻ⁿ - 1))      |  Nenner ausmultiplizieren
                  = eⁿ / (eⁿ * e⁻ⁿ  - eⁿ)      |  1. Potenzgesetz
                  = eⁿ / (     1      - eⁿ)   
                  = eⁿ / (- eⁿ  + 1)

  

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Hallo,

e^(-x)=1/e^x

Betrachte den Nenner:

e^(-x)-1=1/e^x-1

Wenn Du die 1 mit e^x erweiterst, kannst Du sie mit auf den Bruchstrich bringen:

1/e^x-e^x/e^x=(1-e^x)/e^x oder (-e^x+1)/e^x

Da das Ganze unter einem Bruchstrich mit einer 1 als Zähler steht, bildest Du einfach den Kehrwert:

e^x/(-e^x+1)

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

e^-x = 1 / e^x (hoffentlich klar)
1 = e^x / e^x (praktisch trivial)

=> e^-x -1 = (1 - e^x) / e^x (zwei Brüche mit gleichem Nenner addieren bzw. subtrahieren)

=> (e^-x -1)^-1 = e^x / (1 - e^x) = e^x/(-e^x +1) (Kehrbruch)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

1/(e^(-x)-1) = 1 / (1/e^x - 1) = 1 / (1/e^x - e^x/e^x) = 1 / (1-e^x) /e^x =e^x/(1-e^x)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

dir ist bekannt, dass " e^-x " identisch ist mit " 1 / e^x "? - genau das ist der Punkt: setze das ein und vereinfache dann den etwas unhandlichen Bruch - dann kommt da unverzüglich das Ergebnis raus - ganz ohne Zauberei.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von PartyPilz
23.09.2016, 22:15

Ja, damit habe ich es auch schon versucht. Mir scheint aber, dass ich dafür kein Auge habe:

"1/e^-x -1" wird zu "1/(1/e^x)-1" - wieso springt nun das e^x auch in den Zähler? 

0

1/(e^-x - 1) =

1/(1/e^x - 1) =     im Nenner auf Hauptnenner bringen

1 / ( (1 - e^x)/e^x )   Bruchrechnung→ Kehrwert =

e^x / (1 - e^x)   =

e^x / ( e^x + 1)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

alle Summanden werden mit e^x erweitert..

dabei entsteht e^x/ (e^-x *e^x-e^x)

e^x im Nenner ausgeklammert

e^x/(e^x(e^-x-1)

Potenzregel anwenden (A^b *A^c= A^(b+c))

e^x/(e^0 -e^x)

= e^x /(1-e^x) = e^x /(-e^x +1)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?