Brauche mal bischen einen Denkanstoß. Integration mit höherem Nenner als Zählergrad. Der Nenner hat keine Nullstellen. Hat jemand Ahnung wie das ca gehen soll?

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6 Antworten

Also angenommen du hast einen Integranden der folgenden Form gegeben:

f(x) = p(x,n)/p(x,m)   wobei  p(x,n) ein Polynom vom Grade n bezeichnet

Wir können nun annehmen, dass n < m ist, da ansonsten die Polynomdivision einen weiterbringt und einen auf zuvor beschriebene Form bringt.

Man ist in der Lage Polynome mithilfe ihrer Nullstellen zu faktorisieren:

--> p(x,n) = a*(x - x(1))*...*(x - x(n))   mit Nullstellen x(i) und a aus IR.

(für den einfachen nicht komplexen Fall)


Um die Idee der Partialbruchzerlegung zu verstehen ein kurzes Beispiel:

A*1/x + B*1/x² = (A*x + B)/x²

Eine Funktion der Form:  f(x) = (ax + b)/x²

lässt sich also als Summe von recht einfach integrierbaren Brüchen darstellen:

--> f(x) = a/x + b/x² 

Die Idee ist jetzt also (im nicht komplexen Fall) eine Funktion:

f(x) = p(x,n)/p(x,m)  

als Summe von Brüchen zu schreiben. Überführe dazu zunächst das Nennerpolynom in seine Nullstellenform:

--> p(x,m) = a*(x - x(1))*...*(x - x(m))   mit  x(i) aus IR und a aus IR.

(Die Nullstellen haben hier nur die Häufigkeit 1)

Schreibe nun:

A*1/(x - x(1)) + ... + Z/(x - x(m))

Bringe alles auf den gleichen Nenner und du erhälst etwas der Form:

a*(A*(x - x(2))*...*(x - x(m)) + ... + Z*(x - x(1))*...*(x - x(m-1)))/p(x,m)

Du rechnest dann das Zählerpolynom so weit wie nur möglich aus. Schließlich vergleiche das hier Erhaltene Ergebnis mit der anfänglichen Funktion und bestimme über Koeffizienten-Vergleich die fehlenden Parameter A bis Z.


Ein Beispiel:   f(x) = (6x + 4)/((x - 2)*(x - 3))

Mit Nennerpolynom:  p(x,2) = (x - 2)(x - 3)

Schreibe nun:

A/(x - 2) + B/(x - 3) = (A(x - 3) + B(x - 2))/((x-2)(x-3))

Ausmultiplizieren und vereinfachen des Zähler liefert hier dann schließlich:

= ((A + B)x - 3A - 2B)/((x-2)(x-3))

Vergleiche nun die Zähler:

(A + B)x - 3A - 2B    und  6x + 4

Wir folgern durch einen Vergleich:

A + B = 6    ---> B = 6 - A

-3A - 2B = 4 

--> -3A - 2*(6 - A) = 4

--> -3A -12 + 2A = 4

--> -A = 16   ---> A = -16

Und schließlich:   B = 6 - A = 22

Wir erhalten damit also:

f(x) = (6x + 4)/((x - 2)*(x - 3)) = -16/(x-2) + 22/(x - 3)


Hierbei handelt es sich um den einfachsten Fall der vorkommen kann. Schwieriger wird es wenn die Nullstellen eine Häufigkeit größer als 1 haben dürfen. Nehmen wir nun an die Nullstellen haben eine Häufigkeit größer 1, sind jedoch alle reell.

Unser Nenner-Polynom nimmt also die Gestalt:

p(x,m) = a*(x - x(1))^k(1) * (x - x(2))^k(2) * ... * (x - x(i))^k(i)  ; a aus IR

mit Häufigkeiten k(i) aus IN und Nullstellen x(i) mit oben beschriebenen Eigenschaften. Es gilt:

k(1) + k(2) + ... + k(i) = m      (Es handelt sich um Polynom m-ten Grades)


Betrachten wir auch hier wieder zunächst ein Beispiel:

f(x) = (ax + b)/(x - 1)² 

Als mögliche Teilbrüche ließen sich dabei vorstellen:

A/(x - 1) ; B/(x-2)²

Sie besitzen den "Grundfaktor" als Nenner und sind damit auf den ursprünglichen Nenner leicht erweiterbar.

--> A/(x-1) + B/(x - 1)² = A(x-1)/(x-1)² + B/(x - 1)²

--> = ( A(x-1) + B)/(x - 1)²  = (Ax + B - A)/(x - 1)²

Durch direkten Vergleich der Koeffizienten folgern wir:

A = a   und  b = B - A


Bei mehrfachen Nullstellen müssen demnach also nur zusätzliche Summanden mit ähnlichem Nenner betrachtet werden:

1/(x - 1)^k  ---> A/(x - 1) + B/(x - 1)² + C/(x - 1)³ + ... + Z/(x - 1)^k


Schließlich kommen wir zum letztem Fall, der für reelle Funktion zu betrachten ist. Dem Vorkommen von Komplexkonjugierten Nullstellen.

Dafür zunächst eine schnelle Einführung in die komplexen Zahlen. Das Problem ist, im reellen lassen sich Gleichungen wie:

x² + 1 = 0   nicht lösen, da x² > 0  für alle x aus IR.

An dieser Stelle führt man nun "eine neue Zahl" ein, die komplexe Einheit " i ", sie löst obige Gleichung. Es gilt also:

i² = -1   , eine Eigenschaft die sie eindeutig von den reellen Zahlen abhebt. Komplexe Zahlen lassen sich als Summe eines Realteils und eines Imaginärteils schreiben in der Form:

z = a + i*b   ; z komplexe Zahl und a,b aus IR.

Darstellen lassen sich diese in einem 2 Dimensionalen Koordinatensystem, wobei die Y - Achse dem Imaginärteil entspricht und die X-Achse dem Realteil. So entspricht dann bspw:

z = 1 + i  ---> (1 | 1)

z = 3 + i*6 --->  (3 | 6)

z = 5i  --->  (0 | 5)

z = 5  ---> (5 | 0)


Nun zurück zu reellen Funktionen. Wie schon angesprochen besitzt bpsw. die Funktion:  f(x) = x² + 1 keine reellen Nullstellen, demnach lässt sich dieses Polynom nicht so einfach wie die anderen Faktorisieren auf den reellen Zahlen, nämlich gar nicht. Lassen wir jedoch nun auch komplexe Zahlen zu, so folgt wie zuvor angedeutet, dass die Funktion zwei komplexe Nullstellen hat, nämlich:

x(1) = i    und   x(2) = -i

--> x² - 1 = (x - i)*(x + i)     (Wie man auch leicht nachrechnet)

Eine wichtige Tatsache im Bezug auf komplexe Zahlen ist, dass eine komplexe Zahl multipliziert mit ihrem komplex konjugierten stets reell ist.

Sei z = a + i*b  eine komplexe Zahl

---> z* = a - i*b  ist die komplex konjugierte von z

Wir rechnen auch hier leicht nach:

z * (z*) = a² + b² ,  wobei dies für alle a,b aus IR reell ist.


Ebenfalls stellen wir fest für zwei komplexe Zahlen z1 und z2:

z1 = a + i*b

z2 = c + i*d

--> z1 * z2 = ac - bd + i*ad + i*cb

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist also nur dann vollständig reell, falls gilt:

ad + cb = 0   ---> ad - (-cb) = 0

dies können wir als Determinante einer Matrix mit Spaltenvektoren A und B verstehen für die gelten:

A = (a , -b)   und   C = (c , d)

Die Determinante dieser Matrix wird 0, falls A sich als Vielfaches von C darstellen lässt. Mit k aus IR folgt dann:

--> A = k*B  dadurch stellen wir fest, dass gelten muss:

a = k*c   und  -b = k*d

In diesem Fall folgt dann:

z1 * z2 = (a + ib)*(c + id) = k*(c - i*d)*(c + i*d) = k*(c² + d²)

Es stellt sich somit also raus, dass z1 * z2 reell ist, falls z1 ein Vielfaches von dem komplexkonjugierten von z2 ist. Da sich alle Polynome als Produkt ihrer (komplexen) Nullstellen darstellen lässt, folgt für vollständig reelle Polynomfunktion, dass im Falle des Auftretens einer komplexen Nullstelle noch eine zweite exisitieren muss, welche ein Vielfaches des komplexkonjugierten der ersten komplexen Nullstelle sein muss. Für reelle Polynome folgt also, dass komplexe Nullstellen also immer als Paare auftauchen.

Man betrachte dazu einfach unser erstes Beispiel:

f(x) = x² + 1 = (x - i)*(x + i) 

wobei z1 = i  das komplexkonjugierte von z2 = -i ist.

Bei der Betrachtung im vollständigen reellen folgt damit:

Sei z1 = a + i*b

(x - z1)*(x - z1*) = x² -x * (z1 + z1*) + z1 * (z1*)

= x² - x*(2a) + (a² + b²)

(An dieser Stelle wird auch ersichtlich, dass für vollständige "Reelligkeit" der zuvor erwähnte Faktor k, 1 sein muss! Ansonsten ist z1 + z1* nicht vollständig reell)

Wir erhalten also:


f(x) = x² + 1 = (x - i)*(x + i) = x² - x*(2a) + (a² + b²)

Wir können also komplexe Nullstellen bei reellen Polynomen zusammenfassen zu:

(x - z1)*(x - z1*) = x² + ax + c   mit a,c aus IR

Somit nimmt im reellen also unser Polynom in Faktorform die folgende Gestalt an:

p(x, m) = a*(x - x(1))^k(1) * ... * (x² + a(1)x + c(1))^b(1) *...

Mit Häufigkeiten: k(i) und b(i)

Es folgt:  k(1) + ... + k(i) + 2*b(1) + ... + 2*b(j) = m  (da Polynom vom Grade m)


Die Zerlegung im Falle vorhandener komplexer Nullstellen nimmt dann folgende Gestalt an:

(ax + b)/((x -z1)(x - z1*))

Schreibe:

A/(x -z1) + B/(x - z1*) = (A(x - z1*) + B(x - z1))/((x - z1)*(x - z1*))

= ((A + B)x - Az1* - Bz1)/((x - z1)*(x - z1*))

damit das Zählerpolynom wieder reell ist folgt dann, dass gelten muss:

A = B  ---> z1 + z1* = 2*Re{z1}  wobei Re{ ... } den Realteil bezeichnet

--> = ((A+B)*x - 2*Re{z1}*(A+B))/((x - z1)*(x - z1*))

Vergleich liefert hier dann:

A + B = 2A = a    und   -2*Re{z1}*2A = b


Sehen wir also Nenner mit Polynomen mit komplexen Nullstellen mit Vielfachheit k, so können wir folgende Zerlegung vornehmen:

1/(x² + ab + c)^k 

---> (a(1)x + b(1))/(x² + ax + c) + ... + (a(k)x + b(k))/(x² + ax + c)^k

Zu Bestimmen sind dann durch Vergleich die a(i) und b(i).



Nun die letzte offene Frage, wie integriere ich dann die Summen:

Im Falle einer reellen Nullstelle steht das etwas wie:

Integral{ a/(x - x(i))^k dx} = ?

Dieses Integral lässt sich recht einfach ausrechnen, substituiere dafür:

u = x - x(i)  ---> du/dx = 1

-->   Integral{ a/(x - x(i))^k dx} = a* Integral{ 1/u^k du}

Mit 1/u^k = u^(-k) , k ungleich 1 und der Regel für Polynome ist dieses Integral sofort lösbar. Die Lösung im Spezialfall k = 1 folgt zu ln(u).

( Genauer wäre:  ln|u| , wobei | . | den Betrag bezeichnet)


Der Fall mit den komplexen Nullstellen ist da etwas komplizierter:

Integral{ (ax + b)/(x² + cx + d)^k dx } = ?



An dieser Stelle höre ich mal mit meinen Ausführung aus, da es ab hier recht rechenintensiv wird, was hier nicht wirklich anschaulich ist. Endresultat ist, dass man für diesen Fall eine Rekursionsformel herleiten kann, mithilfe derer man Integrale dieser Form lösen kann. Wie genau werde ich nicht weiter ausführen. Zu diesem Thema vielleicht noch ein paar (hilfreiche) Links:


https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

https://www-user.tu-chemnitz.de/~gsor/lehre/m2etit/partialbruchzerlegung.pdf

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

http://www.mathebibel.de/partialbruchzerlegung

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Da kommt man mit den simplen Integrationsformeln nicht weiter, weil z.B.

∫ 1/x dx = ln x  + C

Aber es sollte auch so sein, dass ihr das durchsprecht, bevor solche Aufgaben auf euch losgeschossen werden.

1/x = x⁰ / x¹    Nennergrad höher als Zählergrad

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Würde man das verallgemeinert berechnen wollen, dann erhält man bereits mit Polynomen von recht kleinem Grad sensationell komplizierte Stammfunktionen als Lösung -->

https://goo.gl/0FOu0Q

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Da kann man unterschiedliche Tricks anwenden:

  • Kürzen: Kannst du etwas ggf. nach Ausklammern aus dem Bruch herauskürzen?
  • Ist der  Nennergrad um 1 größer als der Zählergrad, dann schau, dass du es hinkriegt, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steckt. Dann ist die Stammfunktion nämlich der ln des Nenners. Ggf. musst du auch hier vorher rumtricksen mit Erweitern des Bruches, z.B. mit 3/3 erweitern, aber die oberen 3 vor das Integral ziehen und nur das 1/3 in den eigentlichen Bruch schieben, was ja erlaubt ist.
  • Partialbruchzerlegung
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dazu muss man die Funktion sehen.

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Sieh mal auf Wikipedia nach - speziell auch bei komplexen Nullstellen

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Kommentar von fairytale48
28.02.2017, 21:14

warum ist der Link auf Wikipedia - Partialbruchzerlegung verschluckt worden?????

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