Brauche Hilfe bei Herleitung der Regel von Sarrus?

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1 Antwort

Betrachte folgendes lineares LGS:

1) ay(1) + by(2) + cy(3) = x(1)

2) dy(1) + ey(2) + fy(3) = x(2)

3) gy(1) + hy(2) + iy(3) = x(3)

Sei  k*a = d und l*a = g

--> 2) - k* 1) und --> 3) - l* 1):

Daraus folgt nun ausgerechnet:

1) ay(1) + by(2) + cy(3) = x(1)

2) 0 + (e-kb)y(2) + (f-kc)y(3) = x(2) - kx(1)

3) 0 + (h - lb)y(2) + (i-lc)y(3) = x(3) - lx(1)

Sei m*(e-kb) = h-lb

--> 3) - m* 2):

Daraus folgt ausgerechnet:

1) ay(1) + by(2) + cy(3) = x(1)

2) (e-kb)y(2) + (f-kc)y(3) = x(2) - kx(1)

3) (i - lc - m(f-kc))y(3) = x(3) - lx(1) - m(x(2) - kx(1))

Sei nun j*(i-lc-m(f-kc)) = c 

Und sei n*(i - lc- m(f-kc)) = f-kc 

--> 2) - n* 3) und 1) - j* 3):

Daraus folgt ausgerechnet:

1) ay(1)+by(2) = x(1)-j(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1))

2) (e-kb)y(2) = x(2)-kx(1)-n(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1)))

3) (i - lc - m(f-kc))y(3) = x(3) - lx(1) - m(x(2) - kx(1))

Und sei nun zuletzt v*(e-kb) = b

--> 1) - v* 2):

Daraus folgt ausgerechnet:

1) ay(1) = x(1)-j(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1))-v(x(2)-kx(1)-n(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1))))

 2) (e-kb)y(2) = x(2)-kx(1)-n(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1)))

3) (i - lc - m(f-kc))y(3) = x(3) - lx(1) - m(x(2) - kx(1))

Den Rest solltest du alleine schaffen.

Übrigens, falls gilt:

aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb = 0 

Existiert keine eindeutige Lösung für dein Gleichungssystem.

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AnonyJS 01.07.2016, 21:59

Vielen Dank.

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AnonyJS 01.07.2016, 22:23

Könntest Du noch auf meine Rechnung eingehen? (Wo liegt mein Denkfehler usw.)

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poseidon42 01.07.2016, 23:07
@AnonyJS

Der Ansatz und die Idee hinter dem Umformen ist schon korrekt, eines deiner Hauptprobleme ist aber, das du an der ein oder anderen Stelle mit 0 multiplizieren könntest, das wiederum würde dir eine gesamte Gleichung "killen". Sobald du also anfängst Gleichungen "äquivalent" umzuformen geht multiplizieren und dividieren mit allgemeinen Koeffizienten nicht mehr ohne weiteres, da man mit 0 multiplizieren könnte oder durch 0 dividieren könnte. An solchen Stellen muss man dann Fallunterscheidungen machen, was in diesem Fall einfach zu viele wären. Ich hingegen habe stets nur Vielfache abgezogen, also die Gleichungen nur durch Addition/Subtraktion direkt verändert, dabei können einem dann allgemeine Koeffizienten egal sein. Deshalb hab ich auch nie nach den Vielfachen aufgelöst, und am Ende auch nicht dividiert, da dies dann wieder Fallunterscheidungen nötig macht. Dies bedeutet im Endeffekt, dass der größte Teil der Arbeit noch nicht erledigt ist, falls du eine wirklich vollständig allgemeine Lösung haben willst. Dazu ein kurzes Beispiel bezüglich Fallunterscheidungen:

ab + bc = 3

(a+c)b = 3

a + b = 3/b ist für b = 0 nicht definiert, daher muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden:

b=0:

0 = 3 ---> Widerspruch, keine Lösung für b = 0

b ungleich 0:

a+c = 3/b 

--> Theoretisch mehrere Lösungen denkbar, ist abhängig von der Definition von a und c, sowie b, mit b ungleich 0.

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AnonyJS 02.07.2016, 12:46
@poseidon42

Okay, danke. Als ich gestern nochmal meinen Weg durchgegangen bin habe ich noch 2 z mit Koeffizienten eliminieren können, doch bei dem letzten dritten bin ich stehen geblieben bzw. habe mich im Kreis gedreht. Vielen Dank für Deine Korrektur. Jetzt muss ich nur noch Deine Herleitung "übersetzen" und verstehen, danke.

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