brauche dringend Hilfe: Was genau ist ein multiplikativ Inverses in Bezug aufs Modulo-Rechnen?

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1 Antwort

Für ein Element a ist das Inverse Element a^-1, sodass gilt: a * a^-1 = 1.

Beim Modulorechnen ist das genau so, allerdings ist es hier schwerer das Inverse Element (bzgl. Multiplikation) als zum Beispiel bei rationalen Zahlen zu finden.

Habt ihr schon was vom (erweiterten) Euklidischen Algorithmus gehört? Arbeitet ihr mit dem Begriff "Restklassenkörper"?

Wenn nicht, kann man das auch mal an nem kleinen Beispiel durchgehen.

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Kommentar von August22
22.06.2011, 00:25

Gut, schnell noch ein kleines Beispiel, ich geh gleich ins Bett.

Wir nehmen als Teiler z.B. die Zahl 7 (wichtig eine Primzahl zu nehmen, weil an sonsten die sogenannte Nullteilerfreiheit nicht besteht und es im Allgemeinen kein Multiplikativ Inverses gibt):

Hier können wir mit den Zahlen 0, 1, ..., 6 rechnen, jede andere ganze Zahl ergibt geteilt durch 7 einen Rest in {0,1,...,6} = A.

  • 0 hat kein Multiplikativ Inverses, weil für jedes x ∊ A gilt: 0∙x = x∙0 = 0
  • Multiplikativ Inverses von 1 ist 1, wegen 1∙1 = 1
  • Multiplikativ Inverses von z.B. 3 ist 5, also 3 ∙ 5 = 1, vereinfacht kann man das so ausrechnen:

Wir probieren der Reihe nach die Zahlen / Faktoren aus, bis wir den passenden gefunden haben:

  • 3∙1 = 3 ...also nicht 1
  • 3∙2 = 6 ...also nicht 2
  • 3∙3 = 9 (mod) 7 = 2, also nicht 3
  • 3∙4 = 12 (mod) 7 = 5, also nicht 4
  • 3∙5 = 15 (mod) 7 = 1 => multiplikativ Inverses 3⁻ᶦ von 3 ist gleich 5

=> 3∙3⁻ᶦ = 3⁻ᶦ∙3 = 1 = 5∙3 = 3∙5

viel Erfolg morgen!

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