Brauche dringend Hilfe beim lösen dieser Matheaufgabe!?

... komplette Frage anzeigen

4 Antworten

81u² - 45u + 4 = 0 dann durch 81 und pq-Formel

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von TimS97
27.03.2016, 21:42

danke :)

0

sin(x) sei z.

81z^4-45z²+4=0

Sei nun u=z²

81u²-45u+4=0 | :81

u²-0.555u+0.049382716=0 | P/Q-Formel

u1=4/9

u2=1/9


Nun wieder auf z umformen, das kannst du bestimmt selber. Du erhältst 4 Ergebnisse für sin(x).


Nun folgt die Rücksubstitution.

Nutze hierzu den Arcussinus, um die x-Werte zu erhalten.


Edit: Du kannst natürlich auch direkt z=sin²(x) setzen, aber ich finde es mit den Einzelschritten etwas verständlicher.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

81sin^4(x)−45sin^2(x)+4 = 0 

Sei z = sin²(x)

---->   81z² - 45z + 4 = 0  

pq-Formel anwenden:

--> z(1) = 45/162 + [ (45/162)² - 4/81]^(1/2)

     z(2) = 45/162 - [ (45/162)² - 4/81]^(1/2)

und damit:

z(1) = 4/9

z(2) = 1/9

Also durch Resubstitution folgt also:

sin²(x) = 4/9   oder   sin²(x) = 1/9 

Auf beiden Seiten nun die Quadratwurzel ziehen:

sin(x) = +/-  2/3    oder     sin(x) = +/-  1/3

Dies kann man nun mit der Umkehrfunktion vom Sinus lösen, dem arcsin:

--> x(1) = arcsin(2/3) = ca. 0.73  (Rad)

---> x(2) = arcsin(-2/3) = -0.73  (Rad)

----> x(3) = arcsin(1/3) = ca. 0.34 (Rad)

-----> x(4) = arcsin(-1/3) = ca. -0.34 (Rad)

Da jedoch gilt:

sin(x) = sin(pi - x)   folgt, dass es jeweils noch 4 weitere Lösungen gibt, mit:

x(5) = pi - x(1) = ca. 2.41  (Rad)

x(6) = pi - x(2) = ca. 3.87  (Rad)

x(7) = pi - x(3) = ca. 2.8  (Rad)

x(8) = pi - x(4) = ca. 3.48  (Rad)

Damit existieren also 8 Lösungen für diese Gleichungen für:  0 <= x  <  2pi

Ist eine der Lösungen kleiner als 0, zum Beispiel x(2) = -0.73 , so kann eine dem Intervall entsprechende Lösung gefunden werden durch addieren von 2pi, da ja gilt:   sin(x) = sin(x + 2pi)

----> bei x(2) zum Beispiel:  x(2) = 2pi - 0.73 = ca. 5.55  (Rad)   <  2pi

oder bei x(4) dementsprechend:  x(4) = 2pi - 0.34 = ca. 5.94  (Rad)  < 2pi

Hier ein Link zu der Funktion:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+81sin^4%28x%29%E2%88%9245sin^2%28x%29%2B4

Dort ist ebenfalls zu erkennen, dass es 8 Lösungen geben muss, die oben genannten.

Zu guter letzt noch die Umrechnung vom Bogenmaß (Rad) in Grad  (Degrees):

(b/2pi)*360 = k     mit  b in Bogenmaß   und   k  in Grad

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Soll 81sin4(x) etwa 81 * sin⁴ (x) heißen? 

Tipp: sin² (x) substituieren.
Quadratische Gleichungen lösen kannst du, oder?

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von TimS97
27.03.2016, 21:29

Ja schon, aber ich bekomme die Aufgabe ohne Taschenrechner nicht hin, der liegt 200km entfernt Zuhause

0

Was möchtest Du wissen?