Boolsche Algebra, vereinfachen, welches Axiom?

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2 Antworten

ab¬c + ac = ab¬c + ac + ac         (Idempotenz von +)
= ab¬c + a1c + ac (1 ist ·neutral.)
= ab¬c + a(b+¬b)c + ac (Defn von ¬)
= ab¬c + (abc + a¬bc) + a1c (Distr.)
= (ab¬c + abc) + (a¬bc + a1c)
= ab(¬c+c) + a(¬b+1)c (Distr.)
= ab1 + a1c (Defn ¬; 1 ist +abs.)
= ab + ac (1 ist ·neutral.)

für alle a, b, c ∈ X, wobei X eine boolesche Algebra ist.

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Kommentar von Onionlover
01.11.2016, 11:10

Großes Dankeschön, hilft mir immer noch beim Lösen von Aufgaben.

1

Nehmen wir uns den Term

b ∧ ¬c  ∨  c

vor. Wenn wir da irgendwelche Absorption, Distribution etc. anwenden wollen, bietet es sich an, den zweiten Disjunganden (Operanden einer Disjunktion) zu erweitern, umd darin auch ein b zu haben:

c = (b ∨ ¬b) ∧ c

Expandieren (Distributivität):

= b ∧ c   ∨   ¬b ∧ c

Damit wird

b ∧ ¬c  ∨  c      (der obige Ausdruck)

= b ∧ ¬c   ∨   b ∧ c   ∨   ¬b ∧ c

Der mittlere Ausdruck erlaubt eine Anwendung der Distributivität mit dem 3. Operanden (natürlich, da haben wir ihn ja her), aber auch mit dem 1.

In solchen Fällen ist es oft vorteilhaft, beide Vereinfachungen auszuprobieren. Dazu müssen wir den mittleren Operanden  b ∧ c  verdoppeln - dazu brauchen wir wieder  x ∨ x = 1:

(obiger Ausdruck)

= b ∧ ¬c   ∨   b ∧ c  ∨   b ∧ c   ∨   ¬b ∧ c

Hier können wir aus den linken beiden Operanden b und aus den rechten beiden c ausklammern:

= b ∧ (¬c ∧ c)   ∨   (b ∧ ¬b) ∧ c

Hier können wir wieder  x ∨ x = 1  verwenden. Der Rest sollte einfach sein.

(Das Verdoppeln von  b ∧ c  ist eng verwandt mit dem Addieren und Subtrahieren einer Größe, wie z. B. bei der quadratischen Ergänzung)

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Du kannst aber auch gleich zu Anfang z. B. a ∧ c expandieren zu

a ∧ (b ∨ ¬b) ∧ c          <- hier geht das erste Mal   x ∨ x = 1   ein

= a ∧ b ∧ c  ∨  a ∧ ¬b ∧ c

Damit wird

a ∧ b ∧ ¬c  ∨  a ∧ c

= a ∧ b ∧ ¬c  ∨  a ∧ b ∧ c  ∨  a ∧ ¬b ∧ c

Der mittlere Term erlaubt Anwendung der Distribution sowohl mit dem ersten als auch mit dem dritten Term. Deshalb verdoppeln wir ihn (ist ja in der Aussagenlogik und allgemeiner den Booleschen Algebren ohne weitere möglich):

= a ∧ b ∧ ¬c  ∨  a ∧ b ∧ c  ∨  a ∧ b ∧ c  ∨  a ∧ ¬b ∧ c

Anwendung der Distribution:

= (a ∧ b) ∧ (c ∨ ¬c)  ∨ (a ∧ c ) ∧ (b ∨ ¬b)

Der letzte Schritt verwendet wieder   x ∨ x = 1

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