Bitte um Hilfe in Mathe bezüglich Normalverteilung?

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5 Antworten

So, bin wieder da. Inzwischen habe ich mich mal im Internet schlau gemacht, was ein TI30XA kann - aus meiner Sicht nichts. Dieser Rechner ist der Standard-Schulrechner, der die grundlegenden Rechenarten beherrscht, mehr aber auch nicht. Das bedeutet, dass Du ohne Formelsammlung bzw. Tabelle im Buch nicht auskommst.

Dort gibt es eine Seite, die etwa "Standardnormalverteilung" heißen müsste. In der linken Spalte stehen die Vor- und erste Nachkommastelle der Vielfachen von sigma, in der oberen Zeile die zweite Nachkommastelle. In der Tabelle selber sind dann diejenigen Wahrscheinlichkeiten aufgeführt, dass ein Ergebnis kleiner oder gleich my + x·sigma ist. (In Deinem Fall: dass die Regenmenge um höchstens ein bestimmtes Vielfaches von sigma größer als my ist.)

Du musst also als erstes ausrechnen, um wieviel die Regenmenge nach oben von my abweicht, gemessen in sigma.
Die Abweichung beträgt (125-90 =) 35 mm, das ist das (35/30 =) 1,16666fache von sigma. Nun suchst Du den Wert 1,17 in Deiner Tabelle, also 1,1 in der lonken Spalte, 7 in der oberen Zeile. In der Tabelle findet Du dazu den Wert 8790. Das bedeutet: Die Wkeit, dass es höchstens 125 mm regnet, beträgt 0,8790. Woraus folgt, dass die Wkeit, dass es mehr als 125 mm regnet, 0,1210 = 12,10 % beträgt.

Jetzt kannst Du das erst mal verdauen, bevor ich Dich mit weiteren Sachen belästige :-)

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Kommentar von KDWalther
15.11.2015, 19:52

Und nun Aufgabe c)

Hier wird die Zufallsgröße "X: Anzahl der absagenden Gäste" betrachtet. Da es nur die Möglichkeiten "Gast kommt" und "Gast kommt nicht" gibt und die Wkeit, dass ein Gast nicht kommt, für jeden einzelnen Gast 15 % beträgt, haben wir es mit einer binomialverteilten Zufallsgröße zu tun. Als "Treffer" sehe ich an: Gast kommt nicht. p = 0,15

µ = n·p = 50 · 0,15 = 7,5; sigma = wurzel(n·p·(1-p)) = 2,52 < 3.
Daher dürfen wir diese BV nicht mit einer NV annähern; hier würden die Fehler zu groß werden.

Du sollst ausrechnen, wie groß die Wkeit ist, dass weniger als drei Gäste absagen, also: P(X < 3).
Hier kannst Du die Wkeiten für P(X = 0), P(X = 1) und P(X = 2) einzeln ausrechnen (Formel nachschlagen) und die Werte addieren. Oder Du benutzt eine entsprechende Tabelle für die "Summierte Binomialverteilung". Auch hier sind Wahrscheinlichkeitswerte für das Ereignis "höchstens k Erfolge" angegeben. Du brauchst also die Tabelle für n = 50 und suchst bei k = 2.
Ich erhalte als Ergebnis in beiden Fällen: P (X < 3) = 0,0142 = 1,42 %.

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Jetzt muss ich noch eine Antwort beginnen, da ich Dir ein Foto mitschicke.

Aus dem Bild geht gut der Zusammenhang zwischen Binomial- [Histogramm = Treppenkurve) und Normalverzeilung (Glockenkurve) hervor. Da sich alle BV sehr ähneln, lassen sie sich (unter bestimmten mathematischen Bedingungen) alle durch die Normalverteilung annähern.

Bei Aufgabe b) sollst Du ein zu µ symmetriesches Intervall finden, für das eine Wkeit von 80 % besteht. Also haben die beiden äußeren Bereiche jeweilseine Wkeit von 10 %. Auch hier lässt sich die Tabelle als Lösungsmittel anwenden.

Wenn der rechte Bereich eine Wkeit von 10 % besitzt, ist die Wkeit, dass die Regenmenge unterhalb dieser (noch unbekannten) Grenze liegt, 90 %. Also suchen wir in der Tabelle den Wert 9000 heraus. Dieser findet sich bei (etwa) x = 1,28. Da es sich hier wieder um ein Vielfaches von sigma handelt, wird umgerechnet: 1,28·30 = 38,4.
Damit liegt die obere Grenze des gesuchten Intervalls bei 90 + 38,4 = 128,4, die untere Grenze bei 90 - 38,4 = 51,6.
Nun ist klar: Mit einer Wkeit von 80  % liegt die Regenmenge zwischen 51,6 mm und 128,4 mm.

[Anmerkung: sowohl bei Aufgabe a) als auch hier sind duch das Arbeiten mit der Tabelle kleine Fehler aufgetreten. Insbesondere hier war der Wert von 9000 in der Tabelle nicht vorhanden, daher habe ich mit 8997 gearbeitet. Diese Fehler werden aber i.A. toleriert, da es um die Methodik geht.]

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Flächen

f(x)=x^4 - 5x² + 4

Deine Schnittpunkte mit der x-Achse waren richtig!


Da der Graph symmetrisch zur y-Achse ist (nur gerade Exponenten), berechne ich nur die Integrale rechts der y-Achse; zum Schluss verdopple ich dann die Fläche.
Int(f(x),x,0,1)
  = [1/5x^5 - 5/3x³ + 4x] [0;1]        hier habe ich die Stammfkt. gebildet
  =  (1/5·1^5 - 5/3·1³ + 4·1) - (1/5·0^5 - 5/3·0³ + 4·0)     Grenzen einsetzen
  =  38/15
Int(f(x),x,1,2)
  = [1/5x^5 - 5/3x³ + 4x] [1; 2]
  =  (1/5·2^5 - 5/3·2³ + 4·2) - (1/5·1^5 - 5/3·1³ + 4·1)     Grenzen einsetzen
  =  -22/15

Das erste Integral ist positiv, also liegt der Graph in diesem Intervall oberhalb der x-Achse. Im Intervall [1; 2] muss der Graph dementsprechend unterhalb der x-Achse liegen.
Nun zur Fläche:
A = 2 · (38/15 + |-22/15| ) = 2 · (38/15 + 22/15) = 2 · 60/15 = 8
Also schließt der Graph mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 8 FE ein.

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Damit es schön übersichtlich wird (eine Mathematikerkrankheit), sortiere ich die Antworten nach den Aufgaben

Radium

Der radioaktive Stoff Radium besitzt eine Halbwertszeit von 1590 Jahren. Der radioaktive Zerfall von Radium kann durch die Funktion N(t)=N o e kt beschrieben werden.

Dabei ist:
t = Zeit [in Jahren]
No = Anfangsmenge
N(t) = Menge nach der Zeit t

Du kennst keine Mengen, sollst in Prozenten rechnen. Daher wähle ich
No = 100 (für 100 %).

a) Du kennst die Halbwertszeit, sollst die dazu passende Konstante berechnen. Da nach 1590 Jahren noch die Hälfte der Ausgangsmenge da ist, gilt:
N(1590) = 50

Nun kommt die Rechnung:

N(1590) = 50  <=> 100·e^(k·1590) = 50  <=>  e^(1590k) = 0,5
<=>  1590k = ln(0,5)  <=> k = ln(0,5) : 1590 = -0,00043594

Erläuterung: die Logarithmusfunktion kommt ins Spiel, da sie die Umkehrfunktion zu e^x ist. Sie hebt quasi das "e^" auf.

b) Wieviel Prozent Radium sind nach 10 000 Jahren radioaktivem Zerfall noch vorhanden?

Hier brauchst Du nur noch einzusetzen:

N(10000) = 100·e^(-0,00043594·10000) = 1,27858

Also sind noch 1,28 % vorhanden.

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Bevor ich eine passende Antwort geben kann, muss ich zuerst wissen, welche Methoden/Hilfsmittel Ihr benutzt: Taschenrechner (Modell?) oder Tabellenwerk.

Vorab: Aufgabe C ist Binomialverteilung, nicht Normalverteilung.

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Kommentar von Mertyrer
15.11.2015, 02:36

Taschenrechner Modell: texas ti-30xa würde mich freuen wenn Sie die Rechenwege auch erklären, und beispiel c wäre für mich auch erklärungsbedürftig, vielen Dank!

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