Bildungsgesetz rekursiv explizit

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Ich denke eher, du willst wissen, ob es rekursiv definierte Folgen gibt, für die sich keine Polynom p angeben lässt, dessen Werte die Folgenglieder darstellen Denn das wird meist unter expliziter Darstellung verstanden.


A. Ein solches Polynom ist (durch die unendlich vielen Wertepaare der Folge) eindeutig bestimmt. Es lässt sich mit linearer Algebra zeigen, dass zu jeder Rekursionsbedingung

a(n) = k_ 1 * a_ n-1 + k_ 2 * a_ n-2 + ... + k_ n-m * a_ (n-m) (1)

eine charakteristische Gleichung g der Form

x^m = k_ 1 * x^(m-1) + k_ 2 * x^(m-2) + ... k_ 1,

gehört , deren Lösungen x1, ... xm. die Basen im gesuchten Polynom

p(n) = ∑ µ_ i,j * (x_ i) ^ j

sind, wobei i, j = 1 bis m (das Polynom hat nie ein Absolutglied).


B. Beispiel: Zur Fibonacci-Folge mit dem Bildungsgesetz

a(n) = 1 * a_ n-1 + 1 * a_ n-2

gehört die charakteristische Gleichung

x² = 1 * x + 1 * 1 ↔

x² -x -1 = 0

mit deren Lösungen x1,x2 (meist φ und ψ genannt) sich Folgen mit dem Fibonacci-Bildungsgesetz und beliebigen Anfangswerte darstellen lassen.

Die Fibonacci-Folge selbst hat die explizite Darstellung

(φ^n- ψ^n ) / ( φ - ψ).

Näheres findest du unter "Binet-Darstellung der Fibonacci-Folge".


C. Es ist aber bekannt, dass es charakteristische Gleichungen der Ordnung m > 4 gibt, für die es keine Formel zur analytischen Darstellung der Lösungen mit Wurzeln geben kann (weiteres unter Galois-Theorie). Also gibt es auch Rekursionsbedingungen der Form (1) mit (mindestens) fünf Summanden und geeigneten Anfangswerten, für die sich kein Polynom p angegeben lässt. (und also in dem Sinne keine expizite Darstellung existiert).

Zunächst streiten sich (leider) die Menschen bei der Definition "explizit".
Beispiel: sin(x) -> viele denken sie kennen sie genau und sie ist explizit.
Spätestens wenn man mehr als 1000 Stellen berechnen will merkt man, dass man auf unendliche Summen zugreifen und bei gewünschter Genauigkeit abbrechen muss!
(für mich ist diese UNENDLICHE ITERATION nicht 100% explizit)

Man kann die Frage jedoch mit einem eindeutigen NEIN beantworten, da es auch noch Fraktale und andere EXOTEN wie Pseudozufallszahlen (Iterationsrechner
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm
Beispiel 19) oder "logistic map" (siehe Iterationsrechner Beispiel 90)
gibt, die z.B. durch Funktionen wie Modulo keine eindeutige Umkehrfunktion erlauben.

Andersherum natürlich JA, da man mit f(x+1)-f(x) rechnen kann.

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