Bildbereich muss nicht offen sein beim offenem Intervall?

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2 Antworten

f(x) = konstant reicht natürlich als Gegenbeispiel, aber wenn Du es interessanter machen und besser verstehen willst:

wenn Du irgendeine (stetige) Funktion nimmst (z.B. f(x)=x² ), die in dem Intervall einen Extremwert annimmt (hier 0 als Minimum für Intervalle die den Nullpunkt enthalten), dann wird dieser Extremwert das eine Ende des Bildbereichs, und zwar ein geschlossenes Ende:  für f(x)=x² und offenes Intervall (-a,a) ist der Bildbereich [0, a²) - also nicht ein offenes Intervall.

Mit zwei Extrempunkten kann man dann auch Beispiele konstruieren, wo ein an beiden Enden geschlossenes Bildintervall rauskommt ...

f konstant zum Beispiel.

Also mit einem Gegenbeispiel? Zb f:(-pi,pi)|---> IR mit f(x)=sin(x). Dies ist surjektiv und wird auf ganz IR abgebildeeet. oder?

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@gf20109

Sinus ist nicht surjektiv, und R ist offen.

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@iokii

Sinus ist sehr wohl surjektiv (bezüglich seiner Bildmenge, wie jede Funktion). Für -π < x < π ist die Abbildung x → sin(x) sogar bijektiv.

f: (-π, π) → [-1, 1], x → sin(x) ist also durchaus ein Gegenbeispiel, wenngleich vielleicht gegenüber einer konstanten Abbildung ein unnötig kompliziertes.


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