Beweis: WennHypotenuse 1:3 geteilt wird, dann ist kürzere Kathete halb so lang wie Hypotenuse

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3 Antworten

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck ABC und als Höhe die Strecke CP. P ist der Punkt auf dem die Höhe auf der Hypothenuse (AB) aufsitzt.

Da musst Du dann die beiden Dreiecke ABC und BCP (beide rechtwinklig, aber die Hypothenuse im zweiten ist eine Kathete des ersten) betrachten. Da kannst du dann mit dem Satz des Pythagoras Deine Hypothesen prüfen, indem Du z. B. die Strecke BP als 1/3 von AB annimmst.

Hypo-abschnitte sind 1p und 3p , also Hypo = 4p

Kathetensatz; b²=p•4p=4p² → b=2p also Hälfte von 4p

Stelle dir ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge s = 1 vor. Da das Dreieck gleichseitig ist, hast du 3 gleiche Winkel, nämlich jeweils 60°.

Wenn du nun in der Mitte einer der Seiten, eine Gerade ziehst, die senkrecht auf dieser Seite steht, erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Die anderen beiden Winkel betragen nun 60°, wie gehabt, und 30°. Die Hypotenuse ist s = 1, und die eine Kathete ist s/2 = 0,5.

Die Gegenkathete vom Winkel 30° im rechtwinkligen Dreieck ist also gleich 0,5.

Die dritte noch fehlende Seite, nennen wir sie sh, kannst du mit dem Lehrsatz des Pythagoras ausrechnen:

sh^2 = s^2 - (s/2)^2

Da s = 1

und

s/2 = 1/2

s/2 entspricht aber auch dem sin30°, da s = 1

ist:

sh^2 = 1 - (1/2)^2

(1/2)^2 = 1/4

daher:

sh^2 = 1 - 1/4

sh^2 = 3/4

=> sh = √(3/4) <=> √3 / 2

sh ist also gleich √3 halbe. Und das entspricht dem cos30°.

Ich hoffe, dass hilft dir weiter.

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