Beweis für Potenzreihe mit Nullfolge?

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Hallo,

nur um sicher zu gehen, dass ich dich richtig verstanden habe:



ist eine Reihe, keine Potenzreihe. Wahrscheinlich hast du das auch gemeint.

Daher gilt, dass die Reihe für jede Nullfolge aus IR gilt.

Du meinst wahrscheinlich

Daher gilt, dass die Reihe für jede Nullfolge aus IR konvergiert.

Ein klassisches Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe:





Siehe Divergenz der harmonischen Reihe.

Siehe weiter Quotientenkriterium:

Für fast alle n ∈ ℕ muss gelten



für ein positives reelles q.

In dem Beispiel der harmonischen Reihe ist zwar für alle n ∈ ℕ



aber der Bruch strebt für n -> ∞ gegen 1, er ist also nicht kleiner als eine
Konstante q, die kleiner 1 ist.

Gruß

P.S. Ich bin mir jetzt unsicher, vielleicht meinst du doch "Potenzreihe" ∑aₙ xⁿ

Aber was meinst du mit

Da a_n eine Nullfolge, gilt a_n+1/a_n sowieso. ?

Jedenfalls gilt, dass für jede reelle Nullfolge (aₙ) die Potenzreihe

∑aₙ xⁿ einen positiven Konvergenzradius hat, denn es gilt

∑| aₙxⁿ | = ∑|aₙ| |xⁿ| < ∑ |xⁿ| , und ∑ |xⁿ| konvergiert für |x| < 1 ,

also konvergiert ∑|aₙ xⁿ| für |x| < 1 erst recht, also wird der Konvergenzradius von
∑aₙ xⁿ eins oder größer als eins sein.

0

Ah super, danke!

Ja, ich habe die Reihe fälschlicherweise als Potenzreihe abgestempelt, sorry dafür ^^

1

Ja sie konvergiert. Da a_n eine Nullfolge ist, existiert ein N natürliche Zahl mit

Also konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium.

Das Quotientenkriterium funktioniert hier nicht, denn dass a_n eine Nullfolge ist, heisst nicht, dass



wie eddifox gesagt hat.

Teleskopspiegel durch eine Funktion beschreiben (Kompliziert)?

Guten Abend.

Dies ist meine erste Frage und versuche mit allen Mitteln das Problem so gut wie möglich zu erklären. Unten ist eine professionelle Zeichnung die meine Variablen zeigt.

Wer mit Analysis von der Schule helfen möchte muss ich da leider sagen: Wird nicht helfen...

Also: Ich versuche zurzeit ein Teleskop-Spiegel durch eine Funktion zu beschreiben.

Fragt mich nicht warum..., ich weiß es selber nicht. :D

Ich hab mir zuerst die Lichtstrahlen parallel vorgestellt (gelbe Linie). Der Lichtstrahl trifft auf den Spiegel und wird zurückgeworfen. Alle Lichtstrahlen sammeln sich bei der rotes Kreuz. Der Winkel der diesen Spiegel nun haben muss (grich. Delta) kann so ermittelt werden:

Also: Der Winkel Alpha von unserem Lichtstrahl ist ja sin(a) Gegenkatete/ Hypothenuse.

 =a.

Und da der Einfallswinkel = Ausfallswinkel sein soll , so ist 2q+a= 180°

Man stelllt die gleichung um: q°= (180°-a)/2

Wenn man nun 90°- q° rechnet bekommt man grich. Delta raus.

Um von der Gradzahl in eine Steigung zu bekommen, wird tangens genommen.

Man erhält :

Diese Funktion beschreibt die Steigung (r/s) am Punkt x.

Leider ist die Steigung von der höhe abhängig (siehe Formel (k)). So ist f'(x) von f(x) abhängig.

Habe nun versucht durch Annäherung f(x) zu bekommen da ein einfaches Integral nicht helfen kann. Ich unterteile mir f(x) in iele kleine Stücke und möchte die Punkte einzeln ausrechnen. Man fängt x=0 an. Man erhält als Steigung f'(0)=0 und f(0) ist ja bekannt =0. Damit kann h in k der Gleichung eingesetzt werden, macht aber wenig Sinn... 00 = ;D

Um zum nächsten Punkt zu kommen wird die Steigung mal Stückchen von x genommen. Man verringert x um den Fehler so klein wie möglich zu halten.

Wenn nun f(1) gefunden werden soll, unterteil ich das in 2 Stücke x-Stückchen = 0.5

So ergibt sich:

 Um f(2) raus zubekommen, wieder mit x-St.= 0.5 :

 Nun wird x-St. zu n unbenannt

n steht nun für eine belibige Zahl ( besser wenn gegen null) n--> 0.

J=x/n beschreibt wie oft man nun das machen muss.

Zusammenfassend kann man sagen:



Anschließend soll nun untersucht werden wann f'(x)= 1 ist, da Licht mit 90° abgeworfen wird. Diese Funktion soll nun dies Annähernd sagen können.

Nach diesem ganzem Gefasel ist meine Frage:

  1. Gibt es eine Möglichkeit die Funktions reihe einfacher zu beschreiben?
  2. Zu welchem Verhältnis steht die Höhe zum Punkt (h) zu dem Punkt (m) mit der Steigung 1. (h/m)?
  3. Wie kann man diesen Spiegel möglicherweise verbessern/ bauen)?

Ich bedanke mich im Voraus.




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