Beweis für Ableitung von Potenzfunktionen (x^n) wenn n Kehrwert einer natürlichen Zahl ist?

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4 Antworten

Was möchtest du eigentlich konkret beweisen?
Nehmen wir mal ein Beispiel, damit es klar ist.

Deine Behauptung: wenn (x²)' = 2x ist, dann ist (1/x²)' = 1/(2x)?

Das stimmt natürlich nicht, denn (1/x²)' = -2/x³

Und bekanntlich reicht ein Gegenbeispiel, um eine These zu Fall zu bringen.
Oder habe ich es falsch verstanden?

Es bedarf solcher Beweise natürlich überhaupt nicht, wenn die Sache mit den negativen Potenzen wohldefiniert ist. Und das ist sie.

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Kommentar von AnonyJS
24.07.2016, 18:24

Nein, dies behauptete ich keineswegs.

Es ging darum die Regel (x^n)´=n*x^n-1 auch für den Kehrwert einer natürlichen Zahl k zu beweisen. Wobei ebene n=1/k ist und x^(1/k) für f^k ausgetauscht wird, also ich substituiere hier. Und das ist ja die inverse Funktion und die können wir einfach ableiten. Mit der Annahme das (x^n) für ganze Zahlen bereits bewiesen ist. Zunächst wird diese inverse Funktion abgeleitet.

EDIT: Sehe woraus Du dies schließt, war ein Formulierungsfehler meinerseits.

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Kommentar von Roach5
24.07.2016, 18:36

Er hat korrekt bewiesen, dass:

[x^(1/k)]' = (1/k) * x^(1/k - 1), also dass die Potenzregel auch für ganzzahlige Wurzeln gilt.

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Für den Bereich x₀ ∈ ℝ₊ gilt die Formel sogar für beliebige komplexe α, denn nach https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz#Binomische_Reihe.2C_Lehrsatz_f.C3.BCr_komplexe_Exponenten ist

(1.1) (x₀ + h)^{α} = x₀^{α}(1 + h/x₀)^{α}
                       = x₀^{α} ∑_{k=0}^{∞}(α|k)(h/x₀)^{k}
                       = ∑_{k=0}^{∞}(α|k)x₀^{α–k}h^{k}

mit dem verallgemeinerten Binomialkoeffizienten (normalerweise übereinander geschrieben wie bei einem 2D-Vektor)

(1.2) (α|k) = {α·(α–1)·(α – 2)·…·(α – k + 1)}/k!.

In der in (1.1) genannte Reihe müssen mit kleiner werdendem h immer weniger Terme berücksichtigt werden, für h→0 nur die ersten beiden, sodass sich

(2) lim_{h→0} (x₀ + h)^{α} = x₀^{α} + α·x₀^{α–1}h

Für den Differenzenquotienten

(3.1) [(x₀ + h)^{α} – (x₀)^{α}]/h

ist dieser Limes

(3.2) [x₀^{α} + α·x₀^{α–1}h – x₀^{α}]/h = α·x₀^{α–1}h/h = α·x₀^{α–1},

also die Formel für die Ableitung.

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Kommentar von AnonyJS
25.07.2016, 04:45

Okay, cool. Danke. :-)

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Kommentar von SlowPhil
25.07.2016, 07:01

Gern geschehen. Leider scheint meine Antwort irgendjemandem missfallen zu haben, ohne dass ich einen Schimmer hätte, warum. Vielleicht kommentiert derjenige ja auch mal.

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Der Einfachste weg ist sicher der abstrakte weg:

f^n=x --> (f^n)'=f´*(f^n-1)=1  

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(1-k)/k = 1/k - 1, du bist bereits fertig, denn dann:

f'(x) = 1/k * x^(1/k - 1), und genau das ist ja was die Potenzregel uns sagen will.

LG

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