Beweis einer Ungleichung mit 4 Variablen?

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2 Antworten

|x−y|−|u−v| ≤ |x−u|+|v−y|
⟺ |x−y| ≤ |x−u|+|u−v|+|v−y|
⟺ |(x–u)+(u–v)+(v−y)| ≤ |x−u| + |u−v| + |v−y|

Letzteres gilt wegen 2-Anwendungen der ∆-Ungleichung. Daher gilt Ersteres.

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gumpo03 26.10.2016, 23:01

Kannst du das kurz erklären, ich blicke da noch nicht ganz durch..

Du rechnest 

|x−y|−|u−v| ≤ |x−u|+|v−y|    | +|u-v|
|x−y| ≤ |x−u|+|u−v|+|v−y| 

Aber dann? Dreiecksungleichung? Geometrie? Oder meinst du etwas anderes?

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gumpo03 26.10.2016, 23:07
@gumpo03

Also um zu verdeutlichen was ich nicht verstehe. Dreiecksungleicung habe ich mir gerade noch einmal angeguckt, da weis ich jetzt was gemeint ist. Aber wie kommst du von 

|x−y| ≤ |x−u|+|u−v|+|v−y|

auf

|(x–u)+(u–v)+(v−y)| ≤ |x−u| + |u−v| + |v−y|
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kreisfoermig 26.10.2016, 23:15
@gumpo03

Erstens ist ist offensichtlich, dass

x–y = x–u + u–v + v−y.

Doch wozu? Ich dies hineingedacht. Warum? Ich ging diesen Schritt, damit ich eben einen Zusammenhang zwischen der linken und rechten Seiten herstellen konnte, um mich letztlich auf die ∆-Ungleichung berufen zu können.

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|x−y|−|u−v|=|x−y+u-u|−|u−v+y-y|=|x-u+u-y|- |y-v+u-y|=...

Schaffst du den Rest alleine?

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gumpo03 26.10.2016, 22:43

Nei, ich habe das Prinzip leider noch nicht verstanden. Könntest du mir kurz erklären wie du umgestellt hast? Ich hatte halt jetzt 3 Jahre kein Mathe mehr und das meiste Grundwissen aus dem Gymnasium ist nicht mehr vorhanden (bzw. in einem tiefen Winterschlaf)

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iokii 26.10.2016, 22:59
@gumpo03

Beim ersten hab ich einfach Nullen addiert, und beim zweiten hab ich die Summanden in einer anderen Reihenfolge aufgeschrieben, du musst jetzt eigentlich nur noch die Dreiecksungleichung anwenden (|a+b|<=|a|+|b|).

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