Beweis einer Aussage zur Dimension?

... komplette Frage anzeigen

1 Antwort

Zunächst einmal kannst Du hier den Rangsatz anwenden

https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz


Es gilt also

1) dim( U ) = dim( Bild( f ) ) + dim( Kern( f ) )

und

2) dim( U ) = dim( Bild( g°f ) ) + dim( Kern( g°f ) )


Gleichsetzen und umformen gibt

3 ) dim( Bild( f ) ) - dim( Bild( g°f ) ) + dim( Kern( f ) ) 

= dim( Kern( g°f ) )


Da Bild( f ) die lineare Abbildung des Vektorraumes U ist, ist Bild( f ) ein Untervektorraum und damit ebenfalls ein Vektorraum.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare\_Abbildung#Bild\_und\_Kern


Darum können wir den Rangsatz hier noch einmal anwenden

4) dim( Bild( f ) ) 

= dim( Bild( g( Bild( f ) ) ) + dim( Kern( g( Bild(f) ) ) )


Wir sehen daß

Bild( g( Bild( f ) ) ) = Bild( g°f )

und

Kern( g( Bild(f) ) ) = Kern( g ) Schnitt Bild(f) 


also

5) dim( Bild( f ) ) 

= dim( Bild( g°f  ) ) + dim( Kern( g ) Schnitt Bild(f) )


Das setzen wir jetzt in 3) ein

6) dim( Bild( g°f  ) ) + dim( Kern( g ) Schnitt Bild(f) )

 - dim( Bild( g°f ) ) + dim( Kern( f ) ) 

= dim( Kern( g°f ) )


qed

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?