Betriebsoptimum berechnen?
4y+(100/y)
Ableitung und dann =0 setzen aber bei mir kommt 10 raus und die Lösung sagt 5.
4 Antworten
Schreib den Bruch mit folgendem Potenzgesetz um:
Du musst es quasi von rechts nach links anwenden, dann bekommst du folgende Umformung hin:
Damit kannst du ohne besondere Regel ganz einfach ableiten:
Jetzt kannst du daraus wieder einen Bruch machen:
Jetzt die Ableitung nullstellen:
Jetzt den Bruch auf die andere Seite:
Jetzt rechnest du mal y² (auf beiden Seiten). Dadurch kürzt sich links das y² raus, der Bruch verschwindet, nur die 100 bleibt stehen.
100 = 4y² |:4
25 = y² |√
5 = y
Rein mathematisch gesehen fehlt noch die negative Wurzel. Die habe ich aber absichtlich weggelassen, denn es ist ein Wert gesucht, wo eine negative Zahl keinen Sinn ergibt. Gleiches gilt z.B. für Flächeninhalte.
Wenn Fragen offen sind, frag einfach! :)
Du kennst die Regel, die wendest du beim ableiten immer ab, nur ist dir das einfach noch nicht bewusst.
Beispiel:
f(x) =5x³
f'(x) =3*5x²
f'(x) = 15x²
Du ziehst den Exponenten vor die Potenz und erniedrigst den Exponenten dann um 1. Das ist die einfache Regel, die ich beim ableiten auch angewendet habe.
Nehmen wir jetzt mal nur die 100y⁻¹. Jetzt machen wir genau das Gleiche. Den Exponenten davor ziehen und dann um eins verringern.
g(x) = 100y⁻¹
g'(x) = -1 * 100y⁻²
Verstanden? Daher kommt die -1. Und im Exponenten wie gesagt minus 1 rechnen. Da wir aber schon eine -1 im Exponenten hatten, wird da jetzt eine -2 raus.
Also wie gesagt, die Regel kennst du seit du die Ableitung kennst. Nur alles etwas anders ;)
Das war erstaunlich einfach und ich habe die ganze Zeit überlegt, wie aus den 4y = 4-1 werden konnte.
Danke für die weitere Erklärung. :P
Muss auch mal nicht so komplex sein ;)
Gerne. Freut mich, dass ich dir helfen konnte! :)
zur Ableitung
Du hast die Funktion k(y) = 4y + 100·y^(-1).
Der Term ist eine Summe. Du leitest nach der Summenregel, also summandenweise.
Die Ableitung von 4y ist 4·1, da y' = 1.
Die Ableitung von 100·y^(-1) ist 100·(-1)·y^(-1-1) = -100·y^(-2) = -100/y² nach Faktor- und Potenzregel.
Zusammengesetzt: k'(y) = 4 - 100/y².
Nun musst Du selber entscheiden, welche Regel Du nicht korrekt angewandt hast ;-)
ableitung ist
4 + -1 * 100 * y^-2
=
4 - 100 / y^2 = 0
4y^2 - 100 = 0
y^2 = 100 / 4 = 25
wurzel
ist
5
Wieso bleibt die 4 und die 100 trotz Ableitung und wieso wird y zu -1?
du kennst die regeln nicht ?
a * x ableitung : a ....................................... 1/x = x hoch -1 albleitung : -1 * x hoch -1-1 = -x^-2 = -1 / x^2
Das ist die 2. Ableitung.
- ist die Steigung. 2. sind die Extreme.
Dann wirst Du schon auf die 5 kommen.
Mario
Bei der Ableitung wird aus dem ersten y eine -1, welche Regel kenne ich diesmal nicht? :P