Betrags gleichung, erklärung des Ergebniss?

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4 Antworten

Folgende Gleichung:

-2|x - 1| = |x - 2| - x

Wir müssen eine Fallunterscheidung machen und uns überlegen, wann der Teil in den Betragsstrichen negativ ist und wann positiv.

Also:

x < 1:
⇒ x - 1 < 0, also ist |x - 1| in dem Falle -(x - 1), weil das Vorzeichen umgedreht wird
x - 2 < 0, also ist |x - 2| auch hier -(x - 2)

-2|x - 1| = |x - 2| - x für x < 1:

-2(-(x-1)) = -(x - 2) - x (...)  x = 1

Dass x = 1, ist unter der Voraussetzung x < 1 ein Widerspruch!

1 ≤ x < 2:
x - 1 ≥ 0 und es ändert sich nichts am Vorzeichen
x - 2 < 0, also bewirken die Betragsstriche ein -(x - 2)

-2|x - 1| = |x - 2| - x für 1 ≤ x < 2:

-2(x - 1) = -(x - 2) - x  (...)  0 = 0

Hier entsteht eine wahre Aussage, also gilt die Gleichung für das besagte Intervall.

≥ 2:
x - 1 > 0, bleibt wie es ist
x - 2 > 0, bleibt auch wie es ist

-2|x - 1| = |x - 2| - x für ≥ 2:

-2(x - 1) = (x - 2) - x  (...)  x = 2

x = 2 ist für ≥ 2 kein Widerspruch, also gilt für dieses Intervall die Lösung x = 2.

Kurz zusammengefasst:

x < 1 x = 1              WIDERSPRUCH!
1 ≤ x < 2 0 = 0        wahre Aussage
x ≥ 2 x = 2              spezifische Lösung x = 2

Die Gleichung gilt also für ganz 1 ≤ x < 2 und für x = 2, also für 1 ≤ x 2 bzw. in Intervallschreibweise für x  [1; 2].

Bei Fragen einfach fragen. :)

LG Willibergi

ZIAlles verstanden, nur eine Sache verwirrt mich noch etwas:

Zitat:

"

Kurz zusammengefasst:

x < 1 x = 1              WIDERSPRUCH!
1 ≤ x < 2 0 = 0        wahre Aussage
x ≥ 2 x = 2              spezifische Lösung x = 2

"

Wie wählst du deine größer gleich fälle aus ?

Hätte ich zb
1 ≤ x ≤ 2
als zweiten Fall, dann wäre x=2 im dritten Fall ja keine Lösung mehr ? (was bei mir auch nicht in den Lösungen steht). Wird ja nicht nach dem Motto sein: Ach hier passt das besser dann stecken wir das mal in den dritten Fall ^^. Oder ? :P

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@SirThanksalot

Ich gucke mir die Ausdrücke in den Betragsstrichen an.

Hättest du 1 ≤ x 2 im zweiten Fall, würde dort eine wahre Aussage entstehen und im dritten Fall x > 2 eben ein Widerspruch.

Das ist grundsätzlich also egal, wichtig ist nur, dass du die gesamten reellen Zahlen abdeckst. :)

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Danke für den Stern!

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Am besten führst du die Fallunterscheidung einfach mal durch. Wenn

1 ≤ x ≤ 2 ist, wirst du bemerken, dass die entstehende Gleichung allgemeingültig ist (da steht dann sowas wie 2 = 2). Insbesondere sind alle Zahlen aus diesem Bereich eine Lösung.

ja das kommt mir bekannt vor nur wusste ich die zb. 2=2 nie richtig zu interpretieren.

Also,

Auch wenn das x sich aufgehoben hat ist die gleichung dennoch allgemeingültig?

und wird dann wie als ergebniss ausgegeben?

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@SirThanksalot

Kommt drauf an, was dann von der Gleichung übrig bleibt. Wenn am Ende etwas falsches wie "1 = 2" stehen bleibt, ist die Gleichung immer falsch, d.h. kein x aus dem Bereich wäre eine Lösung. Wenn am Ende aber eine wahre Aussage stehen bleibt (wie eben 2 = 2), sind alle x aus dem Bereich Lösungen.

Wenn weder eine wahre noch eine falsche Aussage da stehen bleibt (etwa x² = 4), ist eben nur ein Teil des Bereiches eine Lösung (in dem Beispiel eben nur x = 2 bzw x = -2).

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Guck dir die Ausdrücke in den Beträgen an und überlege dir, wann sie positiv sind und wann negativ. Dann wirst du drauf kommen, dass du 3 Fälle brauchst.

Fall 1: x<1. Das führt zu:

2(x-1) = -(x-2) - x ⇔ x=1, Widerspruch (da x<1 gewählt war). Also keine Lösung in diesem Fall.

Fall 2: 1 ≤ x ≤ 2. Das führt zu:

-2(x-1) = -(x-2) - x ⇔ -2x + 2 = -2x +2, was immer erfüllt ist. Also löst jeder x-Wert in diesem Fall die Gleichung.

Fall 3: x > 2.

-2(x-) = (x-2) - x ⇔ x = 1/2, Widerspruch zu x > 2. Keine Lösung.

Also ist die Lösungsmenge insgesamt: {x|1 ≤ x ≤ 2}.

jo, alles klar ^^ danke danke :)

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Ja, du kannst die 4 Fälle unterscheiden:

x<1: keine Lösung

1 <= x <= 2 : alle 

x>2: keine Lösung

Das ergibt sich auch aus der Form der Funktionen ohne viel Rechnerei.

Eins, zwei, vier. :D

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