Bestimmung Konvergenzradius - Fehler?

Mathe - (Schule, Mathe, Mathematik)

2 Antworten

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https://goo.gl/8g3ddy

Dein Beispiel kannst du umformen :

((-1) ^ (n - 1)) / ((2 * n - 1)!) * (x - 0) ^ (2 * n - 1)

Die Konvergenz wird also alleine durch ((-1) ^ (n - 1)) / ((2 * n - 1)!)  bestimmt.

Davon muss der Limes gegen positiv unendlich gebildet werden.

Es gilt ja folgendes :

((-1) ^ (n - 1)) / ((2 * n - 1)!)  = - ((-1) ^ n) / ((2 * n - 1)!)

- ((-1) ^ n) überschreitet betragsmäßig niemals den Wert |1|, während (2 * n - 1)! ungehemmt anwächst.

Also limes n gegen +∞ mit - ((-1) ^ n) / ((2 * n - 1)!) = |1| / (+∞) = 0

Wenn du jetzt auf die Webseite von oben schaust, ist der Konvergenzradius also

1 / (limes Null) = ∞

Also ist der Konvergenzadius r = ∞ weil |(x - 0)| immer < ∞ ist.

Das bedeutet also, diese Reihe konvergiert global / absolut für alle x

Da ich selber keine Studentin bin, ist das Ganze vielleicht nicht mathematisch 100 % perfekt formuliert, du solltest aber eigentlich erkennen, wie ich das alles meine.

Das einzige, was ich nicht weiß, ist folgendes :

Auf der Webseite von oben steht n von 0 bis positiv Unendlich, also n Element der natürlichen Zahlen einschließlich 0

Eventuell ist bei deinem Beispiel aber ohne 0 gemeint, also für n von 1 bis positiv unendlich, also n Element der natürlichen Zahlen ohne 0

Ich habe es bei Wolfram Alpha ausprobiert, das scheint keinen Unterschied in Bezug auf den Konvergenzradius zu machen, ich weiß aber nicht, warum es keinen Unterschied auf den Konvergenzradius macht, wenn es statt von 0 bis positiv unendlich von 1 bis positiv unendlich läuft, da müsstest du noch mal nachforschen, ob du das heraus findest.

Da ich keine Studentin bin, übernehme ich keine Garantie für die Richtigkeit meiner Antwort, sie sollte aber eigentlich korrekt sein.

Ich habe nicht das Quotientenkriterium benutzt, sondern das andere, das scheint mir einfacher zu sein, siehe Webseite.

Anmerkung :

Man hätte, um die Form von der Webseite zu wahren, auch substituieren können :

m = 2 * n - 1 und n = (1/ 2) * (m + 1)

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@DepravedGirl

Korrektur :

- ((-1) ^ n) überschreitet betragsmäßig niemals den Wert |1|, während |(2 * n - 1)!| ungehemmt anwächst, daran ändert auch die Tatsache nichts, dass aus dem jeweiligen Betrag noch die n-te Wurzel gezogen wird.

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Vielen Dank  für deine Mühe! Kannn ich nachfragen wo explizit ich den Fehler gemacht habe, weil du hast ja ein bisschen anderen ansatz

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@Recall09

Deinen Ansatz habe ich mir leider nicht angeschaut, sorry.

Im Moment fehlt mir leider auch die Zeit dafür.

Sollte mir zu einem späteren Zeitpunkt dazu noch was einfallen, dann werde ich noch was schreiben.

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Das sieht ja ganz schön chaotisch aus... Schwierig, deine Rechnung nachzuvollziehen.

Ich glaube dein Fehler liegt hier:

"umgeschrieben 2n! *(2n-1)! durch 2n! * (2n+1)

2n! kürzt sich weg, übrig bleibt (2n-1)! durch (2n+1)"

Denn:

(2n-1)! / (2n+1)! = (2n-1)! / [(2n)! * (2n+1)] =

= (2n-1)! / [(2n-1)! * 2n * (2n+1)] = 1 / [2n(2n+1)]

Dürfte ich nachfragen wie die (2n-1)! In den Nenner kommt?

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@NoTrolling

Ahh jetzt hab ich es verstanden. Warum kann ich aber bei beiden 2n! Bilden und dann kürzen. Was habe ich math. Falsch gemacht ?

Danke

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@Recall09

Das selbe Prinzip habe ich auf (2n+1)! angewand^^

(2n+1)!=(2n+1) * (2n)!

Du hast das im Nenner richtigerweise so verwendet.

Allerdings hast du im Zähler (2n-1)! = (2n)! * (2n-1)! gerechnet, was so nicht ganz stimmen kann. :D

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@NoTrolling

Sry hab ein Schreibfehler, das Fakultät ist dazwischen geraten.

Meine Rechnung sieht so aus.

(2n-1)!/ (2n+1)! 

Umschreibung 

2n! * (2n-1) / 2n! * ( 2n+1)

Da habe ich dann Sie 2n! Gekürzt 

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@Recall09

Aus (2n-1)! kannst du jedoch 2n nicht rauskürzen!

Das kannst du überprüfen, indem du konkrete Werte einsetzt:

(2*2-1)! = 3!

(2*2)! * (2*2-1) = 4! * 3

Du hast also quasi aus 3! die 3 ausgenommen, dabei aber den Rest in der Fakultät um eins erhöht und nicht vermindert.

Korrekt wäre: (2n-1)! * (2n) = (2n)!

Das brauchst du hier aber nicht, du musst bei einem Bruch immer auf die niedrigste Fakultät auflösen, um zu kürzen.

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