Bestimmen Sie das größte n ∈ N, so dass 100! von 2^n geteilt wird?

3 Antworten

Hallo,

also lass uns mal 100! ausschreiben:

100!=1x2x3x4x5......x99x100

Jetzt schauen wir uns an wie oft in dem Produkt der Faktor 2 vorkommt.
Jede Vielfache von 2 enthält den Faktor 2 einmal. Das sind:

2,4,6,8,...,98,100 -> 50 Zahlen

Jede gerade Zahl, die eine Vielfache von 4 ist enthält den Faktor 2 noch einmal. Das sind:
4,8,12,....96,100-> 25 Zahlen

Jede dieser Zahlen, die auch ein Vielfaches von 8 ist enthält den Faktor 2 noch ein weiteres Mal:

8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96 -> 12 Stück

Vielfache von 16 gibt es 6, Vielfache von 32 3, und dann kommt noch die 64 dazu.

Macht also:
50+25+12+6+3+1= 97

Und das ist die Antwort. Ein kurzer Test in Wolframalpha zeigt, dass das Ergebnis 100!/2^97 tatsächlich ganzzahlig und ungerade ist, also passt kein weiterer Faktor 2 rein:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=100!%2F2%5E97

Viele Grüße!

33

Ups da war jemand anders schon schneller...

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100!=100 * 99 * 98 * ... * 3 * 2 * 1

darin sind 50 gerade Zahlen, die mindestens einmal durch zwei teilbar sind. Wir merken uns 50.

Dann gibt es 25 Zahlen, die durch 4 teilbar sind, da wir die Teilbarkeit durch 2 schon berücksichtigt haben, behalten wir 25 im Sinn.

Es gibt 12 Zahlen, die durch 8 teilbar sind.

Es gibt 6 Zahlen, die durch 16 teilbar sind.

es gibt 3 Zahlen, die durch 32 teilbar sind.

Es gibt eine Zahl, die durch 64 teilbar ist.

Daraus ergibt sich n=50+25+12+6+3+1=97

100! ist also durch 2^97 teilbar.

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Vielen Dank!

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Der größte gerade Teiler von 100! geteilt durch 2.

Tipp: Jede natürliche Zahl hat 1 und sich selbst als Teiler.

16

tut mir leid, da sollte 2^n anstatt 2n stehen

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@sweetycube

Ist inzwischen auch korrigiert in der Frage.

Ein halb-brute-force-Angriff wäre, die Zahlen von 1 bis 100 untereinander zu schreiben und jeweils den Exponenten von 2 in deren Primzahlzerlegung danebenzuschreiben.

Aber es geht auch folgende Überlegung:

Jede gerade Zahl hat 2 mindestens 1-mal in der Primzahlzerlegung.

Beim ersten Durchgang berücksichtigen wir nur diesen.

Es gibt 50 gerade Zahlen in {1, ..., 100}

Dann schauen wir uns die nächste Potenz von 2 an, die 4.

Jede durch 4 teilbare Zahl hat den Primfaktor 2 mindestens 2-mal. 1-mal haben wir schon berücksichtigt, bei diesem Durchgang berücksichtigen wir nur den 2.

Es gibt 25 durch 4 teilbare Zahlen in {1, ..., 100}.

Im 3. Durchgang die durch 8 (=2^3) teilbaren Zahlen. Auch hier berücksichtigen wir nur den ersten der neu hinzugekommenen Primfaktoren 2.

Die größte durch 8 teilbare Zahl aus {1, ..., 100} ist 96. 96 = 8 * 12; es gibt also 12 durch 8 teilbare Zahlen in {1, ..., 100}.

Usw.

diese Zahlen 50, 25, 12, ... addieren wir. Das Ergebnis ist die Potenz der 2 in der Primzahlzerlegung von 100!.

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@PWolff

Vielen Dank! Ich habe die zahl 97 herausbekommen, da 2^6 in {1,...,100} durch eine zahl teilbar ist (64). Hab ich etwas falsch gemacht?

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@PWolff

Oh xd danke! Du hast mir das leben gerettet T-T

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