bestimmen sie alle x so dass sin(x^2 - 1) = - 1/2 gilt?

3 Antworten

sin(x²-1)=-1/2;|sin^-1()

x²-1=sin^-1(-1/2);|+1

x²=sin^-1(-1/2)+1;|sqrt()

x1=+sin^-1(-1/2)+1;

x2=-sin^-1(-1/2)+1;

Wieso teilst Du durch den Sinus?

sin⁻¹ = 1/sin

Die Umkehrung der Sinusfunktion ist der Arkussinus, abgekürzt arcsin. Damit bekommst aus dem Sinuswert einen Winkel.

Der Arkussinus von -1/2 ist etwas über -1/2, nämlich -π / 6, als Formel …

sin(x² - 1) = -1/2
<=> arcsin[sin(x² - 1)] = arcsin(-1/2)
<=> x² - 1 = -π / 6

0
@MatthiasHerz

Ich teile nie durch den Sinus, sondern verwende weben diesen arcsinus als Umkehrfunktion des Sinus...

0
@MatthiasHerz

Ich glaube, er meint den arcsin, weil das
manchmal als sin⁻¹ auf dem Taschenrechner steht.

0

Zunächst lohnt einmal ein Blick auf die Sinusfunktion um sich ein Bild zu machen, wo überhaupt der Wert -1/2 erreicht wird. Nämlich an den Stellen an Stellen 210° und 330°. Weil der Sinus aber periodisch ist kann man das verallgemeinern:

arg = 360° * n + 210° und 360° * n + 330° mit n= ...,-2, -1, 0, +1, +2, ...

In Bogenmass formuliert:

arg = [(12n + 7)*pi + 6] /6 und [(12n + 11)*pi + 6] /6

Nun kann man sich der Argumentfunktion zuwenden und folgende Gleichsetzung vornehmen

(x^2 - 1) = [(12n + 7)*pi + 6] /6 und (x^2 - 1) = [(12n + 11)*pi + 6] /6

Die anschliessende Auflösung nach x ergibt

x = +- Wurzel [(12n + 7)*pi +6)/6] und x = +- Wurzel [(12n + 11)*pi +6)/6]

Doch hier muss man vorsichtig sein mit dem Zähler n. Man muss genau untersuchen wie weit n ins Negative gehen darf.

Erster Fall:

(12n + 7)*pi +6 > 0 Ausrechnung: n > -(6+7pi)/(12pi) = -0,742

Es gilt für n = 0, 1, 2, ....

Zweiter Fall:

(12n + 11)*pi +6 > 0 Ausrechnung: n > -(6+11pi)/(12pi) = -1,07

Es gilt für n = -1, 0, 1, 2, ..

So gibt es zwei Lösungsmengen

x = +- Wurzel [(12n + 7)*pi +6)/6] mit n= 0, 1, 2, ... und

x = +- Wurzel [(12n + 11)*pi +6)/6] mit n = -1, 0, 1, 2, ...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung
 - (Mathematik, Triginometrische Funktionen)

sin (x²-1) = -1/2

x²-1 = -pi/6

x = +/- sqr(1-pi/6)

Was möchtest Du wissen?