bestimmen des Randes, des Inneren und des Abschlusses

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2 Antworten

Das kannst du dir ganz leicht vorstellen: nimm R^n, und nimm die n-dimensionale Kugel mit dem Durchmesser 1 um den Ursprung heraus und pack den Ursprung wieder rein. Dann hast du A. Jetzt nimm die Definition des Rands, des Inneren und des Abschlusses.

Man braucht keine Funktion, man braucht nur eine Definition der Punktmenge. Meistens bekommt man die durch eine Funktion, ist aber nicht nötig.

Hier hast du ja sogar eine - die Betragsfunktion ist eine.

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Kommentar von UnknownGirl12
30.11.2013, 15:24

das kommt jetzt ziemlich dumm rüber. aber

z.b. R^2 ist ja die abbildung von R auf R. Und R^n? ... :(

und den Durchmesser 1 weil ja in A steht IxI > 1 oder? :)

ach und danke ! :) ( mal wieder)

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Das ist eine rein topologische Frage. Der Rand von A ist

Rand(A)={x x ∈ R^n: IxI = 1 } ∪ { 0}

Das Innere von A ist A°={ x ∈ R^n : IxI > 1 }

Der Abschluß von A ist Abschluss(A)= { x ∈ R^n : IxI >= 1 } ∪ { 0}

Beweis: Der Rand von A besteht aus allen Elementen, bei denen in jeder Umgebung sowohl Elemente von A als auch Elemente im Komplement von A liegen. Es sei x=(x1, ..., xn) ∈ R^n mit IxI = 1 . Sei ε > 0. Dann ist x selbst nicht in A, aber der Punkt y =

(x1± ε1, ..., xn± ε1) mit ε1 = 1 / (2 * √n) * ε und das gewählte Vorzeichen gleich dem entsprechenden Vorzeichen von xi

ist in A, da |y|>|x|=1. Der Punkt x=0 gehört ebenfalls zum Rand da x in A liegt, aber alle anderen Punkte in einer ε-Umgebung mit ε<1 nicht in A liegen.

Is x ≠ 0 aber |x| < 1, so gehört dieser Punkt nicht zum Rand, denn man wähle ε = min { |x| / 2 ; (1-|x|) / 2 }. In dieser ε-Umgebung von x gehört kein Punkt zu A, x kann also nicht Randelement von A sein.

Analog beweist man die anderen Behauptungen.

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Kommentar von UnknownGirl12
30.11.2013, 16:55

danke.

aber müsste das Innere nicht so aussehen :

A°={ x ∈ R^n : IxI > 1 } ∪ { 0}

weil so wie ich das verstanden habe, gehört { 0} ja auch zu der Menge A oder? :o

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