Bestimme zu der Geraden parallelen bzw. orthogonalen Anteile der Vektoren?

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1 Antwort

Hallo,

Pi/4 entspricht 180/4=45°

Diesen Winkel nimmt die Gerade in bezug auf die x-Achse ein.

Nun hast Du - als Beispiel - den Vektor (1/2).

Welchen Winkel hat dieser in bezug auf die x-Achse?

Das verrät Dir der Tangens, den Du bekommst, wenn Du die zweite Komponente durch die erste teilst: 2:1=2

Der Tangens 2 gehört zu einem Winkel von 63,4°, also arctan (2)=63,4.

Das heißt, der Winkel dieses Vektors zu Geraden beträgt 63,4-45=18,4°

Der Betrag des Vektors ist die Wurzel aus (2²+1²)= Wurzel (5).

Der Anteil des Vektors, der parallel zur Geraden liegt, ist dessen Projektion auf die Gerade: Wurzel (5)*cos (18,4)

Der senkrechte Anteil ist entsprechend Wurzel (5)*sin (18,4), also die Projektion auf die Senkrechte zur Geraden.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
04.11.2016, 09:49

Es kann auch sein, daß in der Aufgabe nicht nur nach dem Betrag gefragt ist, also wie lang die Projektion von dem Vektor auf die Gerade ist, sondern nach der Komponente des Vektors in Richtung des Richtungsvektors der Geraden.

Die Komponente eines Vektors b in Richtung eines Vektors a wird folgendermaßen berechnet:

[(a·b)/(|a|²]·a

Diesmal bekommst Du als Ergebnis nicht nur einen Betrag, sondern einen Vektor.

Dieser Vektor liegt auf a und hat als Länge den Betrag der Projektion von b auf a.

Beispiel:

a=(1/1), b=(2/1), was der Aufgabe entspricht.

a·b=1*2+1*1=3

|a|²=[√(1²+1²)]²=2

(a·b)/|a|²=3/2

(3/2)*a=(3/2;3/2)

Der Betrag dieses Vektors ist √[(3/2)²+(3/2)²]=√(9/2)=2,12132,

entspricht also dem Betrag des Vektors aus der Aufgabe multipliziert mit dem Kosinus von 18,4°:

√5*cos (18,4)=2,12175 (die kleine Abweichung rührt daher, daß ich bei dem Winkel gerundet hatte).

Bei der Projektion auf die Senkrechte würdest Du als Richtungsvektor der Geraden nicht (1/1), sondern (-1/1) nehmen, der senkrecht auf dieser Geraden steht.

Willy

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