?Bestimme Maximum oder Minimum sowie die Monotonie folgender Funktion?

...komplette Frage anzeigen Monotonie Funktionen  - (Mathe, monotonie)

4 Antworten

Hallo,

bei Aufgabe 2 sollst Du die Lösungsmenge bestimmen, was bedeutet, daß Du die quadratischen Gleichungen und Ungleichungen löst.

Das geht am einfachsten mit Hilfe der sogenannten pq-Formel.

Wenn Du eine quadratische Gleichung der Form f(x)=x²+px+q lösen mußt, dann lauten die beiden Lösungen für x:

x1=-p/2+√(p²/4-q)

x2=-p/2-√(p²/4-q)

Dabei nennt man den Ausdruck unter der Wurzel Determinante, also das 
p²/4-q

Wird dieser Term negativ, gibt es keine reelle Lösung für die Gleichung, sondern nur zwei komplexe;

wird er positiv, bekommst Du zwei Lösungen im Raum der reellen Zahlen; 

ist er Null, gibt es nur eine Lösung, nämlich -p/2. Man nennt das dann eine doppelte Nullstelle.

Im Graphen erkennt man so eine doppelte Nullstelle daran, daß der Scheitelpunkt der Parabel auf der x-Achse liegt.

Wenn Du die pq-Formel anwendest, mußt Du auf zwei Dinge achten:

Vor dem x² darf keine Zahl stehen, auch kein Minuszeichen; außerdem muß die Gleichung Null ergeben.

Es gibt auch noch die sogenannte abc-Formel, die auch für Funktionen der Form ax²+bx+c funktioniert. Meist ist es aber einfacher, einfach alles durch den Faktor vor dem x² zu teilen und dann die pq-Formel anzuwenden (die kann man sich leichter merken).

Hergeleitet wird alles ohnehin aus der quadratischen Ergänzung, die eine solche Gleichung in ein Binom umwandelt.

Nun aber mal eine Beispielsaufgabe:

2d):

f(x)=-3x²+11x-4=0

Eine Voraussetzung für die Anwendung der pq-Formel ist bereits gegeben: auf der rechten Seite der Gleichung steht nur eine Null und sonst nichts. Außerdem kommt nicht mit x im Nenner oder als Exponent oder unter einer Wurzel oder x³ oder so etwas vor.

Das einzige, was noch stört, ist die -3 vor dem x².

Die bekommen wir aber leicht weg. Einfach die ganze Gleichung durch -3 teilen. Rechts bleibt alle Null, denn 0/-3=0, während wir links das bekommen:

x²-(11/3)x+4/3 Da wir durch eine negative Zahl teilen, kehren sich alle Vorzeichen um, aus Plus wird Minus, aus Minus Plus.

x²-(11/3)x+4/3=0 können wir mit der pq-Formel lösen.

Dabei ist p die Zahl vor dem x, also -11/3; q ist die Zahl ohne x, also 4/3.

Du kannst die Formel übrigens auch anwenden, wenn da etwa steht:

x²+abx-(3+5t/2), dann wäre p=ab und q wäre gleich -(3+5t/2); aber darum geht's hier ja nicht.

Unser p ist -11/3 und q ist 4/3

In die Formel einsetzen:

-p/2=11/6; p²/4=121/36, also (11²/3²)*1/4

Also: x1=11/6+√(121/36-4/3)=3,257 333 958

x2=11/6-√(121/12-4/3)=0,409 332 709 1

Bei Aufgabe a kannst Du p=1 und q=-20 direkt einsetzen, weil vor dem x² nichts steht, bei Aufgabe b brauchst Du die Formel nicht, hier reicht der Satz vom Nullprodukt:

2x²=8x

8x auf die andere Seite:

2x²-8x=0

x ausklammern:

x*(2x-8)=0 oder 2x ausklammern:

2x*(x-4)=0 (kommt aufs Gleiche raus)

Ein Produkt wird immer dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird, also:

entweder 2x=0, was bei x=0 der Fall ist (erste Lösung für x),

oder x-4=0, was bei x=4 der Fall ist (zweite Lösung für x und mehr als zwei Lösungen gibt es bei einer quadratischen Gleichung nicht).

Bei Aufgabe f mußt Du zunächst beide Seiten der Gleichung quadrieren:

Dann verschwindet die Wurzel:

x-1=(x-7)²

Rechts ausmultiplizieren:

x-1=x²-14x+49 (2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²)

Alles auf eine Seite, am besten nach rechts, weil da schon das x² steht:

0=x²-15x+50 und wieder pq-Formel, p=-15, q=50 oder, weil es hier so einfach geht, Satz des Vieta.

x²-15x+50 kann in zwei Produkte umgewandelt werden. Dazu prüfst Du, ob die Zahl ohne x so in Faktoren zerlegt werden kann, daß deren Summe die Zahl vor dem x ergibt.

50 ist zum Beispiel 5*10 (5+10=15, wir brauchen aber -15)

50 ist aber auch (-5)*(-10) und -5-10=-15, das paßt.

Nun kannst Du x²-15x+50 in (x-5)*(x-10) umwandeln und den Satz vom Nullprodukt anwenden. Die Gleichung geht auf, wenn entweder x-5=0 (x=5) oder x-10=0 (x=10)

5 und 10 sind die beiden Lösungen.

Über die pq-Formel geht's natürlich auch:

x1=15/2+√(225/4-50)=15/2+√6,25=7,5+2,5=10

x2 ist dann 7,5-2,5=5

Bei Aufgabe e hast Du es mit einer Bruchgleichung zu tun, bei der Du zunächst beide Seiten auf den Hauptnenner (x-3)*(x-1) bringst:

x*(x-1)/[(x-3)*(x-1)]=5*(x-3)/[(x-3)*(x-1)]Alles nach links:

[x*(x-1)-5*(x-3)]/[(x-3)*(x-1)]=0

Nun kannst Du mit dem Nenner multiplizieren, der daraufhin verschwindet, weil rechts die Null steht:

x*(x-1)-5*(x-3)=0

Ausmultiplizieren:

x²-x-5x+15=0

Zusammenfassen:

x²-6x+15=0

Jetzt wieder pq-Formel.

Nun hast Du aber den Fall, daß unter der Wurzel p²/4-q eine negative Zahl ergibt, denn 36/4=9 und 9-15=-6

Du bekommst hier also keine reelle Lösung: diese Parabel hat keine Nullstelle.

Nach diesem Schema gehst Du bei solchen Aufgaben vor.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
03.03.2017, 15:54

Bei den Ungleichungen mußt Du nur beachten, daß sich das Ungleichheitszeichen umkehrt, wenn durch eine negative Zahl geteilt wird oder mit einer negativen Zahl multipliziert. Dann wir aus kleiner größer und aus größer wird kleiner. Ansonsten bleiben sie, wie sie sind.

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Kommentar von nougatmaus
03.03.2017, 22:07

Stimmt daran kann ich mich erinnern
Vielen vielen Dank Willy

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Max / Min: Erste Ableitung bestimmen und = 0 setzen, dann: Zweite Ableitung bestimmen und an den Nullstellen prüfen ob > oder < 0.

Monotonie: ist die erste Ableitung immer > oder < 0?

Nur so als Tipp. Sind Dir die Begriffe (Ableitung etc. ) komplett unbekannt?

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Du musst die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen :)

Wie du (denke ich) weißt, gibt die 1. Ableitung die Steigung der Orginalfunktion an. Jetzt weiß du, dass ein extremalpunkt (d.h. Hoch -oder Tiefpunkt) die Steigung 0 hat, daher errechnest du sie über f ' (x) = 0.

Wenn du jetzt noch wissen willst, ob es ein Hochpunkt oder Tiefpubkt ist, brauchst du die 2. Ableitung.

f '' (Nullstelle) > 0 = Tiefpunkt

f '' (Nullstelle) < 0 = Hochpunkt

f '' (Nullstelle) = 0 = Sattelpunkt

Die Monotonie kannst du daran einfach erkennen. Vom Tiefpubkt zum Hochpunkt steigt die Funktion, danach sinkt sie wieder ...

Grüße

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Kommentar von nougatmaus
02.03.2017, 22:52

Danke ! Kannst du mir paar Lösungen schicken

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Kommentar von nougatmaus
02.03.2017, 22:54

Versuche meiner Tochter zu helfen ist zu lange her bei mir ...

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Kommentar von TheOtherSide16
02.03.2017, 23:10

Nur noch zu Info Hekate100 hat eine andere Methode verwendet.

Die Nullstellen der 1. ableitung zu bestimmen ist Pflicht (wird Notwendiges Kriterium genannt).

Bestimmen ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt oder Sattelpunkt ist, ist nicht immer Pflicht, aber meistens gefordert und sinnvoll (wird hinreichendes Kriterium genannt).

Für das Hinreichende Kriterium gibt es 2 Möglichkeiten, entweder f " ( Nullstele) = ... Was ich verwendet habe oder das Vorzeichen wechselkriterium, welches die Steigung vor dem Extremalpunkt und danach prüft, um zu bestimmen, ob es ein Hochpunkt ist.

Für den Fall, dass deine Tochter in einem Grundkurs ist, empfehle ich meine Variante (ist auch einfacher und schneller). Für den Fall, dass sie im Leistungskurs ist, muss sie eh beides können ;)

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Kommentar von nougatmaus
02.03.2017, 23:52

Vielen Dank !
Wie vergebe ich Sternchen ?

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Kommentar von nougatmaus
02.03.2017, 23:52

Bin neu hier 👍

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Dafür musst du zuerst die erste Ableitung der Funktion bilden (Koeffizient*Potenz und Potenz-1), vorher musst du bei manchen noch ausklammern.

a) f'(x) = 4x+4

Die 1. Ableitung setzt du dann mit Null gleich um die Nullstellen der Ableitung zu erhalten.

f'(x)=0

4x+4=0

4(x+1)=0

x+1=0

x=-1

Danach musst du das Vorzeichen der Ableitung bestimmen, das geht am einfachsten mit einer Vorzeichentabelle, falls dir das etwas sagt.

              -1

x+1 |   -    |  +

f'(x) |   -    |  +

Wenn das Vorzeichen negativ ist, ist der Bereich der Funktion monoton abnehmend, falls es positiv ist ist der Bereich monoton zunehmend.

f ist streng monoton abnehmend für x element ]-unendlich;-1]

f ist streng monoton zunehmend für x element [-1;+unendlich]

Maxima bzw. Minima befinden sich an den Nullstellen der Funktion und der 1. Ableitung, wenn dort ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Um die Koordinate zu erhalten musst du die Nullstelle der Ableitung in die eigentliche Funktion einsetzen.

f(-1)=2*(-1)^2+4*(-1)-10

f(-1)=2-4-10

f(-1)=-12

Damit gilt: Tiefpunkt T (-1|-12)

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Kommentar von nougatmaus
02.03.2017, 23:07

Vielen lieben Dank !!!

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