Beste methode um Nullstellen von -x^3 +6x^2 -9?

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8 Antworten

Zuerst versucht man bei solchen Termen eine ganzzahlige Nullstelle zu erraten. Gibt es eine ganze Zahl als Nullstelle, dann muss diese ein Teiler des absoluten Gliedes sein, also in diesem Fall ein Teiler von 9, d. h. +-9, +-3 und +-1 wären mögliche Kandidaten. Das führt hier aber nicht zum Erfolg.

Daher bleibt nur ein Näherungsverfahren übrig, wie z. B. das Newton-Verfahren. Dazu machst Du am Besten zuerst eine kleine Wertetabelle und wählst als Startpunkt einen der beiden x-Werte zwischen denen der Funktionswert das Vorzeichen wechselt, denn dazwischen muss irgendwo die erste Nullstelle liegen. In der Schule wird so etwas aber meines Wissens nach (noch) nicht gelehrt...

Die hier beschriebene Vorgehensweise ist immer nötig, wenn Du Terme "größer" als quadratische Terme lösen musst und ein Absolutglied (Summand ohne x) im Term vorkommt. Ausnahme wäre z. B. ein Term der nur die Exponenten 4 und 2 plus Absolutglied aufweist, z. B. x^4-3x²+1. Bei solchen Termen kommt man mit Hilfe der Substitution weiter, indem man z=x² setzt. Somit erhält man einen quadratischen Term: z²-3z+1. Das kann man dann mit der pq-Formel lösen und dann durch Re-Substitution (x=+-Wurzel(z)) die (maximal) vier reellen Nullstellen ermitteln.

Hallo,

normalerweise rät man eine Nullstelle, teilt durch (x-Nullstelle) und löst die quadratische Gleichung, die dann herauskommt, mit der pq-Formel, um die beiden restlichen Nullstellen, falls vorhanden, zu bekommen.

In Deinem Fall bringt Raten nichts.

Du wendest entweder das Newtonverfahren oder ein anderes Näherungsverfahren an oder Du versuchst Dich an der Cardanischen Formel, die wirklich sämtliche Nullstellen, auch komplexe, liefert.

Einfacher geht es aber mit einem Taschenrechner, der solche Gleichungen lösen kann (ab 20.- Euro).

Herzliche Grüße,

Willy

taschnrechner dürfen wir leider nicht benutzen

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@tinebea

Dann am besten ein Näherungsverfahren.

Wird bei diesen krummen Werten aber hart ohne Rechner.

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Du hast nach dem einfachsten Weg gefragt.

Das wäre meiner Meinung nach ein vereinfachtes (!!) Newton - Verfahren.

https://goo.gl/E3eh1h

x = x - h * f(x) / (f(x + h) - f(x))

Die Startwerte von x und h schätzt man.

An deinem Beispiel

x = x - h * (- x ^ 3 + 6 * x ^ 2 - 9) / ((- (x + h) ^ 3 + 6 * (x + h) ^ 2 - 9) - (- x ^ 3 + 6 * x ^ 2 - 9))

Startwert x = -1

Mit h auf h = 0.0001 festgesetzt.

x = x - 0.0001 * (- x ^ 3 + 6 * x ^ 2 - 9) / ((- (x + 0.0001) ^ 3 + 6 * (x + 0.0001) ^ 2 - 9) - (- x ^ 3 + 6 * x ^ 2 - 9))

Das führt nach 5 Iterationen auf x = -1.123983179505812

Das ist selbstverständlich nur eine der drei vorhandenen Nullstellen.

Man braucht keine Ableitung zu bilden, und es konvergiert trotzdem.

 

  Ein allgemeines Verfahren gibt es in so Fällen nicht;  nicht nur die Nullstelle musst du raten, sondern auch, welches Verfaren für dein Polynom das geeignetste ist. In der Algebravorlesung lernst du folgende Alternative: Entweder ein kubistisches Polynom ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner drei Wurzeln ( was hier leider der Fall ist ) Oder aber es spaltet einen rationalen Linearfaktor ab; schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )  Ich wiederhole hier nochmal meinen Fälschungsvorwurf; du lebst in aufregenden Zeiten. Wikis Behauptung nämlich, Gauß habe den SRN auch nur gekannt geschweige entdeckt, stellt die GRÖSSTE FÄLSCHUNG dar in der Geschichte der Matematik; der SRN wurde 1990 gefunden von einem Internetgenie.

    Du hast verstanden, dass Nullstellen NOTWENDIG GANZZAHLIGE Teiler des Absolutgliedes 9 sein müssen.

    Gauß ist doch Kult; kannst du mir mal sagen, wieso dein Schrat noch nie vom SRN vernommen hat? ( Ich weiß; der wollte euch nur mal prüfen. ) Euer Lehrer ist doch ein Boldwitz; wenn der überhaupt etwas glaubt ( was ich bezweifle ) dann rät der ganzzahlige Teiler, weil die leichter gehen als gebrochene.

    Was du als Teeny noch nicht wissen kannst: Die einzigen ernst zu nehmenden Algebrabücher sind Artin und v.d. Waerden ( 1930 ) Dein Lehrer weiß das natürlich; ich sage in so Fällen immer: Der soll doch mal nachsehen, ob diese beiden Autoren den SRN kennen.

   Doch längst besitze ich weiter gehende substanzielle Einwände.  Wovon du dich gerne selber überzeugen magst; schau dir ruhig nochmal an, wie man traditionell beweist, dass Wurzel ( 2 ) irrational. Und jetzt mach den Beweis über den SRN . Warum, frage ich dich, kennt niemand diesen zweiten, viel leichteren Beweis, wo doch der SRN von Gauß entdeckt wurde? ( Es gibt sogar noch mehr so Unstimmigkeiten. )

   Doch wir wollen uns jetzt deinem Polynom zuwenden; ich schick erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist. Es folgt aber noch eine Fortsetzung Teil 2 .

   f  (  x  )  :=  x  ³  -  6  x  ²  +  9            (  2.1  )

   In der Diplomprüfung konnte ich eine Eins Plus machen, ohne je von der cartesischen Vorzeichenregel ( CV ) gehört zu haben - auch wieder so ein Fall. In keinem Lehrbuch oder Skript kommt sie vor. Im Falle ( 2.1 ) hast du genau eine negative Nullstelle; und die werden wir raten. Was in so Fällen stets weiter führt, ist die ===> Kurvendiskussion ( KD ) von ( 2.1 ) Dazu kann ich nur sagen: Solltet ihr euch bereits mit Polynomen 3. Grades quälen, ohne dass du KD kannst, tust du den zweiten Schritt vor dem ersten.

    f  '  (  x  )  =  3  x  ²  -  12  x  =  3  x  (  x  -  4  )  =  0          (  2.2a  )

    x  (  max  )  =  0  ;  x  (  min  )  =  4            (  2.2b  )

   Anmerkung; alle kubischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. Als ungerades Polynom kommt es asymptotisch von ( - °° ) ;  das MAXIMUM liegt LINKS und das Minimum rechts.

    f  (  max  )  =  9  ;  f  (  min  )  =  (  -  23  )            (  2.3  )

   Und zwar solltest du in der Lage sein, f ( min ) in 5 sec über das Hornerschema IM KOPF zu berechnen. Wichtig ist für uns der V Z W in  ( 2.3 ) ; denn er besagt, dass wir drei reelle wurzeln haben; folgende Abschätzung:

     x1  <  0  <  x2  <  4  <  x3        (  2.4  )

    Ich würde jetzt so vorgehen:

    f  (  -  1  )  =  2  ;  f  (  -  2  )  =  (  -  23  )       (  2.5  )

   Mein Chef pflegte zu sagen

  " Da wir eh kein genaues Ergebnis kriegen. Und da alle anderen Verfahren umständlicher sind, nehmse doch einfach fort gesetzte Intervallhalbierung ( ' Telefonbuchsuche ' ) "

   Das Verfahren ist amtlich in der Literatur dokumentiert und beruht auf dem ===> Zwischenwertsatz.  Du würdest also auf deinem TR das Hornerschema programmieren und von Hand die Halbierungsschritte vornehmen, beginnend bei x = ( - 1.5 ) Du treibst das jetzt so weit, bis eine vorgegebene Stellenzahl erreicht ist. Wolfram gibt

    x3  =  (  -  1.124  )            (  2.6  )

  Zu Polynomdivision ( PD ) würde ich nicht raten; nicht mal das Internet kennt eine PD durch Gleitkommazahlen. Ich besitze übrigens einen Kronzeugen, dass ===> Michael Ende seinen Millionenseller " Jim Knopf " für mich alleine geschrieben hat, da war ich grad mal Neun. Und darum fand ich es ganz witzig, meine Entdeckung zu bezeichnen als " erste und zweite Alfonsinische pq-Foremel ( AF1 bzw. AF2 ; du kannst längst danach googeln. )  nach der Romanfigur König Alfons 3/4 XII von Lummerland. Ich bekam hier schon das Kompliment, die AF seien die bisher besten Formeln auf dem Gebiet.

   Ich muss jetzt aber ins ===> Schlaftürlein; sonst werde ich noch im ===> Kämmerleinletz mit einem Löffel Grießbrei bestraft. Am Tage mach ich den Rest; versprochen.

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@gilgamesch4711

  Ich denk grad; mittels Wolfram könnte ich diese Iteration mal vorführen.

             x          |               y

  ------------------ | --------------------------

       ( - 1.500 )  |  ( - 7.875 )
       ( - 1.250 )  |  ( - 2.328 )
       ( - 1.125 )  |  ( - 1.758 ) ( E-2 )
       ( - 1.063 )  |      1.019
       ( - 1.094 )  |        .5096
       ( - 1.110 )  |        .2398
       ( - 1.118 )  |        .1030
       ( - 1.122 )  |      3.423    ( E-2 )
       ( - 1.124 )  |  ( - 2.906 ) ( E-4 )

     Und jetzt zu den AF .  Ich freu mich ja, dass ihr alle PD beherrscht; ich les ja mit. Aber dieses rostige quietschende Getriebe von PD bezweckt doch nichts weiter, als das quadratische Faktorpolynom g ( x ) von ( 2.1 )  zu bestimmen:

          f  (  x  )  =  (  x  -  x3  )  g  (  x  )        (  3.1  )

   wobei ich in ( 2.6 ) schon x3 aus Wolfram zitiert hatte; siehe obige Tabelle. Die AF  setzen auf Vieta das geschmähte Stiefkind; der Vieta von Polynom g lautet

     g  (  x  )  =:  x  ²  -  p  x  +  q         (  3.2a  )

        p  =  x1  +  x2      (  3.2b  )

        q  =  x1  x2       (  3.2c  )

   Auch f ( x ) in ( 2.1 ) besitzt einen Vieta; er ist bloß nicht so geläufig.

        a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )  =  (  -  6  )         (  3.3a  )

        a0  =  -  x1  x2  x3                 =  9                 (  3.3b  )

   Wie war IQ definiert? Wissen, was alle Welt weiß, aber sehen, was noch keiner vorher gesehen hat. Typisch für mich; ich lege den Rückwärtsgang ein. Setz mal ( 3.2b ) ein in ( 3.3a ) so wie ( 3.2c ) in ( 3-3b ) - klar, wie ich das meine?

       a2  =  -  (  p  +  x3  )  =  (  -  6  )  ===>  p  =  7.124          (  3.4a  )     ;    AF1

        a0  =  -   q       x3     =         9    ===>  q  =  8.007           (  3.4b  )     ;    AF2

     g  (  x  )  =  x  ²  -  7.124  x  +  8.007       (  3.4c  )

     Hier du musst doch zugeben.  In deinem bisherigen Leben hattest du eindeutig schon anspruchsvollere LGS zu lösen als ( 3.4ab ) Dabei sind ( 3.4ab ) noch nicht mal gekoppelt. Doch Vorsicht ist geboten; AF sind nicht so robust wie PD. Achte stets darauf, dass das Ausgangspolynom 

    Ich bevorzuge übrigens eine Mitternachtsformel, die nummerisch etwas stabiler ist; aus der Mitternachtswurzel wird ( p/2 ) als " Größenordnung " heraus gezogen:

     x1;2  =  ( p/2 )  [  1  -/+  sqr  (  1  -  q  :  ( p/2 ) ²  )  ]           (  3.5  )

     x1;2  =  3.562  [  1  -/+  sqr  (  1  -  8.007 /  3.562  ²  )  ]  =       (  3.6a  )

              =  3.562  [  1  -/+  sqr  (  1  -  .6311  )  ]  =     (  3.6b  )

              =  3.562  [  1  -/+  sqr  ( .3690  )  ]  =      (  3.6c  )

               =  3.562  (  1  -/+  .6075  )       (  3.6d  )

     x1  =  39.25  %  *  3.562  =  1.398     (  3.7a  )   ;  vgl. Wolfram

     x2  =  1.608  *  3.562  =  5.728           (  3.7b  )  ;    "          "

         

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einfacher als Polynomdivision; zuerst jeden mal (-1) nehmen.

Wieso denn partielle Integration? Bist du besoffen? Du willst doch die Nullstellen finden!

Wie wäre es mit dem guten, alten Newtonverfahren?

Am besten auf so ausklammern das X^n *(x^2+n) da steht das hintere kann man dann mit der Mitternachtsformel lösen

Hochachtungsvoll Sloth

Ausklammern bringt nichts:

-x*(x²-6x+9/x)=0 ist auch nicht einfacher zu lösen.

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wie kann man den da ausklammer wenn bei 9 keine x ist

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Schon mal was von Polynomdivision gehört?

Und dann ABC- oder PQ-Formel.

Dazu brauchst Du aber erst mal eine Nullstelle.

Raten bringt hier nichts.

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wie bestimme ich denn hier eine mögliche nullstelle für die polynomdivision?

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