Beschränktes exponentielles Wachstum - verstehe Beispiel nicht?

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10 Antworten

Hallo,

allgemein kannst Du das beschränkte Wachstum nach dieser Formel berechnen:

B(t)=S-(S-B(0))*e^(-k*t)

B(t) ist der Bestand nach t Zeiteinheiten (hier: Jahren).

B (0) ist der Anfangsbestand (hier: 12)

s ist die Obergrenze (hier: 800)

B (1) ist der Bestand nach einer Zeiteinheit (hier: nach einem Jahr), also

12+(800-12)*0,15=130,2

So kannst Du die Gleichung aufstellen:

130,2=800-788*e^(-k)

788*e^(-k)=669,8

e^(-k)=669,8/788=0,85

-k=ln (0,85)

k=-ln (0,85)=0,1625189295

Nun kannst Du dies überprüfen am Bestand nach 2 Jahren.

Er beläuft sich auf 130,2+(800-130,2)*0,15=230,67 Fische (also etwa 230)

Nach der Formel: 800-788*e^(-2*0,1625189295)=230,67

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
23.02.2017, 16:33

Da -k=ln (1-p/100) und e^(ln (x))=x, kann die Formel umgewandelt werden in:

B(t)=S-(S-B(0))*(1-p/100)^t,

in Deinem Fall also:

B(t)=800-788*0,85^t

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Hallo !

Eine geschlossene Formel ohne komplizierte Summensymbole, Produktsymbole und anderem gibt es nicht !, wenn überhaupt.

Aber man kann ziemlich einfach ein Computerprogramm schreiben.

Dazu braucht man erst einmal eine Programmiersprache, zum Beispiel diese hier -->

http://www.qb64.net/

Einfach das Betriebssystem auswählen, was man auf seinem Computer hat, dann downloaden und die Programmiersprache starten.

Danach in die bereits gestartete Programmiersprache nachfolgendes reinkopieren.

Das reinkopieren geht mit der Tastenkombination STRG + v, nachdem man den folgenden Text markiert und kopiert hat -->

DEFDBL A-Z

CLS

f = 12

PRINT 0, f

FOR j = 1 TO 22

f = (800 - f) * 0.15 + f

PRINT j, f

NEXT j

Oder man tippt es per Hand ein, das geht auch.

Das war schon das ganze Programm.

Danach oben in der Menüleiste RUN anklicken und dann Start anklicken und man bekommt das Ergebnis angezeigt, ganz einfach.

Jede andere Programmiersprache ist auch geeignet.

Selbstverständlich kann man dieses Mini-Programm auch noch abändern wie auch immer man möchte.

Hier mal ein Bild von dem Ergebnis -->


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Kommentar von precursor
22.02.2017, 15:55

Wie ich sehe hat kreisfoermig doch eine geschlossene Formel gefunden.

ƒ(t) = 800 – (800–12)·(1–0.15)^t

Die Ergebnisse von dieser Formel stimmen mit dem Ergebnissen in meinem Bild überein.

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Ja, wenn man von einer rekursiven Entwicklung der Form:

    dƒ(t)/dt = Φ(ƒ(t)), für alle t∈[0,∞),
wobei Φ : x∈IR ⟼ R·(K–x)·x. …(G1)

ausgeht, wobei R eine Rate, sodass jährlich 15% (bzgl. Restkapazität) Zuwachs entsteht, und K=800, so ergibt sich etwas der Form deines Ergebnisses

    ƒ(t) = K – (K–ƒ(0))·exp(-Rt), für t∈[0,∞)    …(G2)

Es bleibt ja dann das R richtig zu bestimmen. Dies 

Laut der Beschreibung herrscht ein jährlicher Zuwachs in Höhe von 15% der Restkapazität am Anfang des Jahres. Das heißt, es muss gelten

    ƒ(t+1) = Z(ƒ(t)), für t∈[0,∞),
wobei Z : x∈IR ⟼ x + r·(K–x). …(G3)

wobei r = 15%. Aus (G2) nun folgt

                    ƒ(t+1) = K – (K–ƒ(0))·exp(-Rt)·exp(–R)
                              = K – (K–ƒ(t))·exp(–R)
                              = ƒ(t) + (1–exp(-R))·(K– ƒ(t))

Also muss man R = -ℓog(1–r) ≈ 16,2519% wählen, so dass 1–exp(-R) = r und damit

                    ƒ(t+1) = ƒ(t) + r·(K– ƒ(t))

gilt. Also erfüllt (G2) die Beschreibungen (G1)+(G3). Eigentlich kann man nur mit (G3) arbeiten, denn (G1) geht nicht direkt aus dem Problem hervor. Dies liefert die diskrete Lösung:

    ƒ(t) = K – (K–ƒ(0))·(1-r)^t, für t∈ℕ         …(G4)

welche sich ja im Grund kontinuierlich fortsetzen lässt zum Bereich [0,∞) und man erhielt damit (G2). Dennoch weiß man eigentlich nicht, was während des Jahres geschieht, sodass diese Annahme nicht rechtfertigt ist.

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Die Frage ist wie du auf diese Gleichung gekommen bist?

Denn auch wenn deine angegeben Funktion für t=0 stimmt, hast du für t=1 bereits 732 Fische.

Das kann nicht sein!

Daher nochmal die Frage, was war dein Ansatz für diese GL?

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Kommentar von Claramaria145
22.02.2017, 11:33

Hab meinen Fehler schon gefunden aber danke :)



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Das ist die Formel die du brauchst:
Wie man dahin kommt ist deine Aufgabe ;)

f(t) = 222*t+12*(0,85^t)

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Ich verstehe die Aufgabe so, dass immer 15% der noch
möglichen Zahl dazukommen. Im ersten Jahr also
15% von 788 (= 118), im nächsten 15% von 670 usw.

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Kommentar von Claramaria145
22.02.2017, 11:24

Das ist mir schon bewusst, aber ich muss eine Formel dazu aufstellen (Formel für beschränktes exponnentielles Wachstum)

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Sieht nicht sehr plausibel aus.

Noch 2 Fragen:

- Wie viele Laichperioden haben die Fische pro Jahr, oder vermehren sie sich stetig?

- Beziehen sich die 15% auf die momentane Wachstumsrate oder auf die Wachstumsrate über ein ganzes Jahr?

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Hallo,

Du kannst es einfacher haben:

12*1,15^t<=800

1,15^t<=200/3

Jetzt logarithmieren:

t*ln(1,15)<=ln (200/3)

t<=[ln (200/3)]/ln (1,15)

t<=30,048, in ganzen Jahren also 30.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
22.02.2017, 12:33

Wenn Du es unbedingt mit e^(kt) haben willst:

12*e^(kt)=13,8, nämlich 12*1,15 (Wachstum in einem Jahr).

e^(kt)=13,8/12=1,15 (welch Wunder)

Da hier t=1:

k=ln (1,15), dann weiter wie in meiner Antwort.

Du siehst: e bedeutet hier nur einen überflüssigen Umweg.

Willy

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Kommentar von Slevi89
22.02.2017, 12:35

Das ist aber laut seiner Aussage nicht richtig. Es kommen jedes Jahr 15% der Restkapazität hinzu.

Du startesr bei 12, nach einem Jahr bist bei 12+(800-12)*0,15 = 132

Nach dem zweitem Jahr bei  132 + (800-132)*0,15 = 232 usw.

Die Gleichung lautet dann:

f(t) = 222*t+12*(0,85^t)

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Das heißt es werden nie 800 sein, aber wächst richtung 800 - fische evt nicht bestes beispiel

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