Berührpunkte und Tangenten bestimmen?

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Während es total leicht ist, für einen Punkt auf einer Kurve eine Tangente zu berechnen, da die Ableitung der Kurve in dem Punkt genau die Steigung m der Tangente ist, ist es doch wesentlich schwieriger, von irgendeinem Punkt aus den Berührpunkt auf der Kurve zu finden.
Wohlan denn!

Gegeben sind R(x₁ = 3| y₁ = 8)     und       f(x) = -x² + 6x - 5.
Gesucht ist eine Tangente durch R.
Zuerst die Ableitung                                f '(x) = -2x + 6.      
Das ist auch das m für die Tangenten, leider gleich für alle: m = -2x + 6

Eine Geradensteigung ist nun bestimmt durch         m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

[ Ich schreibe das erst mal weg, denn GF mir ist schon zu oft während der Beantwortung down gegangen, - immer gerade bei komplizierten Antworten. Ich weiß auch gar nicht, ob es den FS noch interessiert. Darum melde dich in einem Kommentar! Dann mache ich weiter. ]

22 Stunden seit der Fragestellung
und offenbar (wie so oft) das Interesse verloren.
Interessiert sich jemand anders für den Rechenweg? Sonst warten wir halt auf die nächsten, die eine solche Aufgabe bekommen und vielleicht wirklich wissen wollen, wie man es macht.
Denn so ganz ohne ist das ja auch nicht, was da noch zu tun ist.

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@Volens

Die Klausur ist zwar schon geschrieben aber ich würde mich trz über eine Erklärung freuen weil ich es immer noch nicht verstehe.

Danke im Voraus! 

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@BraunerTupfer

Ich bin sehr erfreut, dass du dich doch wieder gemeldet hast. Das erlebt man ja nicht so oft.
Gerne stelle ich dir den Rechenweg zur Verfügung. Wenn noch etwas unklar sein sollte, frag ruhig.

Wenn ich das da oben  in die Steigungsgleichung einsetze, erhalte ich aus m = f '(x):
((-x² + 6x - 5) – 8)) / (x – 3) = -2x + 6 | *(x-3) und Seiten vertauschen
(-2x + 6) (x – 3) = -x² + 6x - 13         | umformen und alles nach links

x² - 6x + 5 = 0 | p,q-Formel
x₁‚₂ = 3 ± 2
x₁ =5
x₂ = 1

Wenn ich für die beiden x die y aus der Funktion berechne, weiß ich nun, dass es Berührpunkte sein müssen, weil sie Punkte der Funktion und zweier Geraden sind.
y₁ = 0
y₂ = 0

Die Null ist natürlich Zufall, die y-Werte könnten irgendwo sein. Aber so stimmt auch deine Voraussage aus der Lösung:
B₁ (5|0) und B₂ (1|0)
Welchen man dabei zuerst nennt, spielt keine Rolle. Ich benutze nun die Zweipunkteform der Geradengleichung, um einerseits die Gerade zu bestimmen, die durch R und B₁ geht, und andererseits die Gerade, die durch R und B₂ geht. Man muss sich daran gewöhnen, dass die Indizierung immer wieder von vorn beginnt.
Die Formel ist
(y - y₁) / (x - x₁) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Für RB₁ ist R (x₁ = 3 | y₁ = 8) sowie B₁(x₂ = 5 | y₂ = 0)
Das ist, in die Geradengleichung eingesetzt:
( y – 8) / (x – 3) = (0 – 8) / (5 – 3)
( y – 8) / (x – 3) = -8/2
y – 8 = -8/2 (x – 3)
y = -4 (x – 3) + 8
y = -4x + 12 + 8 y = -4x + 20

Das kannst du genauso ausrechnen für RB₂
R (x₁ = 3 | y₁ = 8) sowie B₂ (x₂ = 1 | y₂ = 0)
y = 4x - 4
Das ist die Tangente auf der anderen Seite.

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@Volens

Ich habe oben in einer Zeile nicht getrennt (am Ende der Berechnung von RB₁)

y = -4x + 12 + 8
y = -4x + 20

So sieht's besser aus.

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Du leitest f(x) ab und setzt es mit g'(x) gleich.

Dann setzt du noch f(x) mit g(x) gleich und kannst x ausrechnen.

Es gibt kein g(x). Da ist nur ein Punkt.

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