Beispiel zu ecponentialgleichungen?

...komplette Frage anzeigen

1 Antwort

Hallo,

eine Formel für exponentielles Wachstum lautet y=x*e(k*t), wobei e die Eulersche Zahl ist (2,718281828..., die Basis des natürlichen Logarithmus ln) und k ein konstanter Faktor, der zu berechnen ist.

t ist die Zahl der Jahre, die ins Land gegangen sind, hier: 4.

Wir haben die Bevölkerungszahlen von 2007 und 2011, nämlich 42.000 und 50.000.

Diese beiden Zahlen setzen wir für x und y in die Gleichung ein:

50.000=42.000*e(4k)

50.000/42.000=e^(4k)
25/21=e^(4k)

Nun ist 4k der natürliche Logarithmus, nämlich die Zahl, mit der e potenziert werden muß, um auf 25/21 zu kommen.

25/21 ist dasselbe wie e^(ln(25/21)), denn e und ln heben sich gegenseitig auf.

Dann muß der ln(25/21)=4k sein und k=[ln(25/21)]/4=0,04358834679.

Nun kannst Du, von dem Stand des Jahres 2007 ausgehend, alle anderen Bewohnerzahlen berechnen, indem Du das berechnete k einsetzt und für t die Zahl der verstrichenen Jahre. Auch die Bewohnerzahl für die Zeit vor 2007 kannst Du nun berechnen, indem Du für t negative Zahlen einsetzt.

Im Jahre 2002 waren es z.B. 42.000*e^(-5*0,04358834679)=33.775,

im Jahre 2015 sind es 42.000*e^(8*0,04358834679)=59523

Wann sind es 65.000? Nun mußt Du die Gleichung 42.000*e^(0,04358834679*t)=65.000 nach t auflösen.

e^(0,04358834679*t)=65/42 (nach Kürzen)

Nun kommt wieder der Logarithmus ins Spiel:

0,04358834679*t=ln(65/42)

t=[ln(65/42)]/0,04358834679=10,02 Jahre.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?