bedingung für funktionen ist ja, dass einem x-wert einem y-wert zugeordnet wird. MEin lehrer meinte mal, dass jedoch ein y nicht einem x zugeordnet werden muss?
Aber was genau heist das, ich meine wenn einem x ein y gehoert, ist es doch auch andersherum. Oder habe ich meinen Lehrer falsch verstanden
8 Antworten
Hallo,
damit eine Funktion Funktion genannt werden kann, muß sie unter anderem diese wichtige Bedingung erfüllen:
Es darf keine Parallele zur y-Achse geben, die den Graphen der Funktion mehr als einmal schneidet. Egal also, was Du für x in eine Funktionsgleichung einsetzt: Du darfst niemals mehr als ein Ergebnis bekommen.
f(x)=Wurzel (x) ist nur deswegen eine Funktion, weil das Wurzelzeichen nur für die positiven Wurzeln definiert ist. Ansonsten könntest Du für x=9 sowohl den Wert 3 als auch den Wert -3 bekommen, denn beides zum Quadrat ergibt wieder 9.
Es ist aber kein Problem, wenn eine Parallele zur x-Achse den Funktionsgraphen mehrmals, auch unendlich oft, schneidet. Die Funktion besitzt in diesem Fall nur keine Umkehrfunktion. f(x)=x² hat keine Umkehrfunktion, weil Du zwar den Ast rechts von der y-Achse an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten spiegeln kannst, so daß Du die Funktion f(x)=Wurzel (x) erhältst, nicht aber den linken Ast, weil der zu f(x)=-Wurzel (x) führen würde, zu einer zweiten Funktion also.
Herzliche Grüße,
Willy
Der Begriff Funktion wrd i.A. so definiert: "Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element des Definitionsbereiches genau ein Element des Wertebereiches zuordnet."
Die Elemente des Def.-Bereiches werden dabei i.A. mit x bezeichnet, die des Wertebereiches mit y.
Nehmen wir folgendes Beispiel:
Links ist der Def.-Bereich, rechts der Wertebereich.
Man sieht deutlich, dass jedem x-Wert (a,b,c) genau ein y-Wert (d,e,f) zugeordnet wird: zu x=a gehört eindeutig y=d . . . Damit ist diese Zuordnung eine Funktion im mathematischen Sinn.
Anschauliches Beispiel: Du ordnest jedem Menschen dieser Welt sein Gewicht zu, gemessen morgens um 8:00 h Ortszeit, gerundet mathematisch auf ganze Gramm (damit es eindeutig wird, denn das Gewicht ändert sich ja im Laufe des Tages dauernd). Dann besteht der Def.-Bereich aus ca. 8 Mrd. Menschen. An Gewichten gibt es theoretisch unendlich viele Werte. Insbesondere Gewichte über 1000 kg kommen beim Menschen garantiert nicht vor. Also gibt es zu diesen Gewichten auch keinen Menschen, der dieses Gewicht besitzt. (vgl. obiges Bild) Trotzdem ist die Zuordnung Mensch -> Gewicht eindeutig, also eine Funktion.
Das ist das, was Dein Lehrer meinte.
Klar geworden?
Beispiel: f(x)=x² ist eine Funktion, weil jeder x-Wert genau einen Wert f(x)=y hat. Für f(x)=1 <=> x²=1 gibt es aber 2 x-Werte, die die Gleichung erfüllen, x=1 und x=-1. Eine Funktion muss also eine von x nach y eindeutige Zuordnung sein, aber nicht zwangsläufig eine eineindeutige Zuordnung.
Der Lehrer meinte wohl, dass ein y nicht
unbedingt nur einem x zugeordnet sein
muss. Das stimmt. Bei der Funktion
y = x²
ist der y-Wert 4 zum Beispiel zwei x-Werten,
-2 und 2, zugeordnet.
Es ist nicht äußerst präzise formuliert.
Zu jedem x-Wert gibt es genau ein y-Wert.
Wenn du mehr y-Werte als x-Werte hast oder y-Werte mehrfach zugeordnet werden, dann wird nicht alle y-Werte angenommen.