Bakterienkultur Wachstumsmodell?

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3 Antworten

Teil a): Gesucht sind die Parameter N₀ und k dergestalt, dass f(t) die Anzahl der Individuen in Kultur I darstellt.

t = 0 bedeutet den Zeitpunkt, zu dem die Kultur angesetzt wird - ich gehe mal davon aus, dass das übereinstimmt mit den Annahmen für Funktion g(t).

t = 1 h bedeutet den Zeitpunkt, zu dem der andere gegebene Wert angenommen wird.

Teil d): Was bedeutet die Wachstumsgeschwindigkeit, ausgedrückt durch die Wachstumsfunktion?

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Bei der Exponentialfunktion in der Form f(t)=N0 * e^(kt) ist N0 der Startwert (f(0) ist ja N0 * e^0=N0). Jetzt musst Du noch anhand der gegebenen Anzahl an Bakterien nach einer Stunde das k ermitteln.
N0=250 und f(1)=412 in f(t) eingesetzt ergibt:
412=250 * e^(k * 1)       |:250
1,648=e^k                     |ln
ln(1,648)=k
k=0,5
=> f(t)=250e^(0,5t)

Bei d) musst Du nun beide Funktionen ableiten, gleichsetzen und t (in Stunden) ausrechnen. Wachstumsgeschwindigkeit bedeutet ja in diesem Falle "Steigung".

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Dies ist eine einfache "exponentielle Zunahme",Exponentialfunktion.

Formel N(x)=No *a^x oder wenn a=e =2,7.. (Eulerzahl) N(x)=No*e^b*x

zu a.N(t)=No*a^t mit No=250 und t=1 ist N(1)=412

412=250 * a^1 ergibt a=412/250=1,648

also Formel N(t)=250 * 1,648^t  nun in die basis e=2,7... um wandeln

gleichsetzen f(t)=No * e^k*t=No*1,648^t mit t=1

e^k=1,648 logarithmiert k=ln(1,648)=0,499...=0,5

f(x)=250*e^0,5 * x

Probe: f(1)=250* e^0,5 *1=412,... bis auf Rundungsfehler

zu b. g(t)=3000 -2500 * e^(-0,5*t) mit t=0 ergibt No=Anfangswert

g(0)=3000 - 2500 * e^0=3000-2500*1=500 Bakterien

g(t)=3000- 2500* e^(-0,5 *t) mit t gegen unendlich wird e^(-0,5*t)=0

also g(unendlich)=3000 - 2500 *0=3000

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