Aufstellen einer Ebene

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2 Antworten

Vorschlag: Abstand von den beiden Geraden berechnen; Abstand halbieren; 3 Punkte suchen, die diesen halben Abstand zu beiden Geraden haben; aus den 3 Punkten eine Ebene erstellen,.

gesucht: 1 aufpunkt, 2 richtungsvektoren.

gegeben: 1 richtungsvektor (nimm einen (NUR EINEN) von den beiden richtungsvektoren der geraden). warum? die hilfsgerade, die zu den beiden anderen gegebenen geraden parallel ist und den gleichen abstand hat, ist teil der ebene.

nun wirds schwerer!

du musst erstmal den abstand rausfinden zwischen den beiden geraden. das geht mit dem allgemeinen geradenpunkt.

sei g1: X = A1 + lambda B1

sei g2: Y = A2 + müh B2

(nur damit wir uns einfacher verständigen können)

nun verbindest du den punkt X mit dem punkt Y. sowoh X und Y sind aber unbekannt, denn die hängen von lambda und müh ab. (aber das macht nichts)

die verbindungsstrecke XY muss nun sowohl zu g1 als auch zu g2 senkrecht sein (da man so den abstand misst.. immer senkrecht). deshalb kannst du 2 gleichungen aufstellen aus denen sich lambda und müh berechnen lassen.

die 1te gleichung ist das skalarprodukt von XY und B1 = 0 und die 2te gleichung das skalaprprodukt von XY und B2 = 0. (denn dann sind sie ja senkrecht)

nun gehst du zum punkt A1 + 1/2(XY) mit den jeweiligen lambda und müh eingesetzt. (statt A1 geht auch jeder andere punkt aus der geraden g1). dieser punkt ist nämlich mit sicherheit genau im gleichen abstand zwischen g1 und g2.

=> aufpunkt gefunden

was jetzt noch fehlt ist ein weiterer richtungsvektor. diese strecke XY, mit der man den abstand messen kann steht offenbar senkrecht auf der gesuchten ebene. warum? weil man eben auch bei ebenen und geraden den abstand senkrecht misst und die ebene zufälligerweise genau mittig von den beiden geraden sein soll.

deshalb kannst du die strecke XY und den richtungsvektor, den du für die ebene bereits ausgesucht hast (der erste abstaz, den ich schrieb), hernehmen und mittels des vektorproduktes einen richtungsvektore berechnen, der senkrecht zum bisherigen richtungsvektor ist (also linear unabhängig. sonst würdest du keine ebene erzeugen können) UND senkrecht zu XY ist, also also offensichtlich zur gesuchten ebene gehört.

fertig.

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