Aufspannende Vektoren)

meine lösung - (Mathe, Mathematik) offizielle lösung - (Mathe, Mathematik)

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Hey :)

Ich bin mir nicht sicher, ob du diese Aufgabe mit der Determinante lösen sollst/darfst, da ja explizit auch nach den Faktoren gefragt wird. Zusätzlich bin ich mir nicht sicher, ob du weißt, was du mit der Determinante berechnest. Dein Lösungsweg ist auf jeden Fall richtig, wenn es nur darum geht, herauszufinden, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, bzw. welche Bedingungen (in diesem Fall welches r) der Punkt erfüllen muss, da du die Vektoren auf lineare abhängigkeit überprüfst. Hier ist jedoch auch noch die Angabe der Koeffizienten gefragt, weshalb der Ansatz der offiziellen Lösung logischer ist.

Grundsätzlich gibt es mehrer Möglichkeiten eine Ebene zu definieren. Ich glaube du kennst die Parameterdarstellung und die Normalendarstellung (siehe unten). Die Lösung verwendet die Parameterdarstellung mit
E: x = x0+ au + bv
x
0 ist der Aufpunkt, welcher laut Lösung (Angabe meiner Meinung nach nicht ganz deutlich! (siehe unten)) der Urpsung (0,0,0) ist. Je nachdem, welche Werte du für a und b wählst, erhältst du einen anderen Punkt x auf der Ebene. Soll nun w in der Ebene liegen, legst du w als eine Lösung fest und löst das sich ergebene Gleichungssystem.
w= au + bv
also hier:
(-7,r, -35) = a(1,2,1) + b(1,-2,3)
a + b = -7
2a - 2b = r
a + 3b = -35

Das gesuchte r ergibt sich dann zu r = 42. Die zugehörigen Faktoren a und b ergeben sich zu a = 7 und b = -14

Ich hoffe ich konnte dir ein wenig weiter helfen ;)

Anm.:
1.) Die Normalendarstellung der Ebene (n [x-a] = 0; wobei n, x und a vektoren sind) wäre in diesem Fall: (8, -2, -4)x^T = 0 wobei der Aufpunkt a = (0,0,0)
2.) Die Aufgabe ist meiner Meinung nach nicht ganz klar gestellt, da der Aufpunkt nicht klar definiert ist. Die Lösung verwendet dafür den Ursprung (0,0,0), allerdings könnte man auch w als aufpunkt definieren, wodurch allerdings die ganze aufgabe hinfällig werden würde, mit der Lösung r = beliebig; a = b = 0...
3.) Für die Mathe geeks: Die Vektoren in meinem Text dürfen alle (ausser bei Anm. 1.)) als transponiert (x^T) angesehen werden...

Vielleicht reicht auch eine ganz kurze Antwort: Weil der dein Weg über die Determinante die erste Teilaufgabe löst, aber nicht die zweite ( = Bestimmung der Faktoren).

wenn der Vektor w in der u-v-Ebene liegt, dann muss sich Vektor w durch Addition von Vielfachen der Vektoren u, v darstellen lassen.

Verdeutliche dir diesen Sachverhalt evt. anhand einer Skizze

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