Aufspannen von unterräumen Lineare Algebra?

AUFGABENTYP - (Schule, Studium, Algebra)

1 Antwort

Zwei von Vektormengen aufgespannte Unterräume sind genau dann gleich, wenn sich jeder Vektor der einen Menge als Linearkombination der Vektoren der anderen Menge darstellen lässt.

In diesem Fall geht es also darum, z. B. 3 reelle Zahlen a, b, c so zu finden, dass

(I)  (4, 13, 10, 6, -3) = a (1, 1, 1, 0, 0) + b (0, 1, 1, 1, 0) + c (0, 0, 1, 1, 1)

und auch anders herum 5 Zahlen a, b, c, d, e so, dass

(II)  (1, 1, 1, 0, 0) = a (4, 13, 10, 6, -3) + b (5, 16, 12, 7, -4) + c (0, -2, -1, -1, 1) + d (4, 8, 7, 3, -1)

Wenn für jeden Vektor des Erzeugendensystems von U_i eine Darstellung der Form (I) und für jeden Vektor des Erzeugendensystems von U_1 eine Darstellung der Form (II) gefunden werden kann, ist i = 1, sonst nicht.

Vermutlich gibt es noch Vereinfachungen, aber das funktioniert auf jeden Fall.

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