Aufleitungen/Stammfunktionen/integrale?

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3 Antworten

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = cos(x) / sin(x).

Man erkennt, dass im Zähler die Ableitungs des Nenners steht, denn es gilt

u(x) = sin(x), u'(x) = cos(x).

Dann folgt

int( cos(x) / sin(x) )dx = ln( sin(x) ) + c.

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Gegeben sei die Funktion g mit g(x) = cos( sqrt(x) ).

Substituiere t := sqrt(x). Dann ist dt / dx = 1 / (2sqrt(x)) = 1 / (2t), somit

dx = 2t dt.

Dann erhalten wir

int( cos( sqrt(x) ) )dx = int( cos(t) * 2t )dt =

2int( t cos(t) )dt. Das wird jetzt partiell integriert.

2int( t cos(t) )dt = 2 t * sin(t) - 2 int( 1 * sin(t) )dt =

2t sin(t) + 2 cos(t) + c. Abschließend wieder resubstituieren.

int( cos( sqrt(x) ) =

2sqrt(x) sin( sqrt(x) ) + 2 cos( sqrt(x) ) + c.

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